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2-09. 빛의 간섭 및 회절
Excel 을 사용하여 단일슬릿 또는 이중슬릿에서의 간섭 및 회절 무늬 곡선을 그려보도록 한다.
(1) 개요
보통 영의 이중슬릿 실험을 논할 때, 입사되는 빛의 파장(λ)에 비해 슬릿의 폭(a)이 매우 작다고 가정한다.
왜냐하면, 이런 조건 하에서는 회절패턴의 중앙 극대부분이 매우 넓게 분포되어 회절에 의한 효과를 무시할 수 있어서, 순수한 간섭현상 만을 분석할 수 있기 때문이다.
(그림에서 슬릿의 폭이 작아질 수록 중앙 극대부분이 넓어지는 것을 볼 수 있다.)
그러나 실제의 슬릿에서는 이러한 가정이 성립될 수 없기 때문에, 각각의 슬릿을 통과한 빛은 회절하게 되며, 따라서, 실제의 이중 슬릿에서는 두개의 회절된 빛이 서로 간섭하여 무늬를 그리게 된다.
그림 (a)는 슬릿의 폭이 매우 작다는 가정 하에서의 (즉, 간섭무늬의 극대부분이 모두 동일한 강도를 갖게 될 때의) 이중 슬릿 간섭패턴의 그래프이다. 그러나 실제 슬릿에서는 각각의 슬릿에서 그림 (b)와 같은 회절 효과를 보이게 되며, 결과적으로 이중 슬릿의 간섭패턴 그래프는 그림 (c)와 같이 나타난다.
그림 (b)의 회절 곡선은 그림 (a)의 간섭 극대값을 제한하는 포락선(envelope)의 역할을 하며, 포락선은
간섭패턴의 극대점의 위치를 변화시키는 것이 아니라 오직 그 강도에만 영향을 미치는 것을 알 수 있다.
회절현상을 포함한 이중슬릿의 간섭무늬는 다음과 같은 식으로 표현된다.
여기서 α, β 는 각각
 
이며, d 는 두 슬릿의 중심 간의 거리이고, a 는 슬릿의 폭이다. 이 식을 자세히 살펴보면, 간섭인자 cos2β 는 슬릿간의 거리 d 에 따른 두 슬릿의 간섭과 연관되어 있고, 회절인자 [(sinα)/α]2 는 단일슬릿의 폭 a 에 따른 회절과 연관되어 있음을 알 수 있다.
만약 a→0 이면 α→0 이고 (sin α)/α→1 이다. 즉, 슬릿의 폭이 매우 작은 이상적인 경우라면, 회절의 영향이 없는 순수한 간섭패턴을 얻을 수 있다. 마찬가지로 d=0 이라고 하면 두개의 슬릿이 하나로 합쳐진다고 생각할 수 있으며,
물리적으로 단일슬릿과 동등한 상태라고 할 수 있다. 따라서 d=0 일 때, β=0 이고 cos2β=1 이 되어 위의 식은 단일 슬릿의 회절 곡선을 그리게 된다.
(2) 구상
아래의 그림은, 엑셀을 이용하여 그래프를 작성하기 위한 대략적인 구상도이다.
스크롤 막대를 사용하여 4 개의 변수를 변경하여 그래프가 자동적으로 변환되는 엑셀시트를 작성한다.
시트의 구성은 다음 그림과 같이 ① ~ ⑤ 의 5 개의 영역으로 나뉜다.
① 스크롤 막대를 삽입하여, 마우스를 이용하여 변수값 변경을 쉽게 할 수 있도록 한다. (H열에 직접 입력 가능)
② 실험에서 조건 변경이 가능한 물리량이며, '셀참조'를 적용하여 ① 값에 따라 수치가 자동 변경되도록 한다.
③ 수식 계산을 위해서 ②의 데이터의 단위를 일치시킨다.
④ 최종적으로 그래프를 작성하기 위한 데이터 테이블을 계산한다. (그래프 좌표 계산)
⑤ 계산된 좌표를 선으로 연결하여 그래프를 작성한다.
여기서 ②, ③, ④ 에는 '셀참조'가 적용되었기 때문에, ① 의 값에 따라 순차적으로 ②~⑤의 데이터가 변경된다.
(3) 기본 시트 구성
본격적으로 시트 작성을 시작해보자. 그림과 같이 기본적인 테이블을 작성한다.
(반드시 그림과 같은 형태로 작성할 필요는 없다.)
(4) 스크롤 막대 생성
변수의 값을 쉽게 변경할 수 있도록, 시트에 스크롤 막대를 삽입한다.
스크롤 막대를 생성하기 위해서는 [양식] 도구모음이 필요하다.
일반적으로, 기본적으로 표시되는 엑셀 도구모음에는 [양식] 도구모음이 보이지 않을 것이다.
상단 메뉴에서 [보기]-[도구 모음]-[양식] 을 클릭하면 [양식] 도구모음이 생성된다.
 
아래와 같이 양식 도구모음이 생성되면, [스크롤 막대] 도구를 선택한다.
이 상태에서 워크시트의 적당한 영역을 마우스로 드래그하면 지정한 크기의 스크롤 막대가 생성된다.
스크롤 막대가 생성되면, 속성 설정을 위해 마우스 오른쪽 버튼을 클릭한 후 [컨트롤 서식]을 선택한다.
[컨트롤] 탭을 선택하면 다음과 같은 옵션을 설정할 수가 있다.
[현재값] : 현재 연결된 셀에 지정된 값
[최소값] : 스크롤 막대가 좌측 끝(또는 최상단)에 위치할 때의 값
[최대값] : 스크롤 막대가 우측 끝(또는 최하단)에 위치할 때의 값
[증분 변경] : 최소 변경 단위 (스크롤 막대 양 끝의 화살표 버튼을 클릭할 때의 증감 수치)
[페이지 변경] : 스크롤 막대의 빈공간을 클릭할 때의 증감 수치
[셀 연결] : 스크롤 막대와 연결되어 값을 수치화해서 보여주는 셀의 절대주소
(5) 스크롤 막대 설정
각도 θ를 0.1 ˚ ~ 90 ˚ 범위에서 0.1 단위로 변경할 수 있는 스크롤 막대를 설정하여 보자.
시작하기 전에 알아두어야 할 점은, 스크롤 막대의 수치 변경은 정수 단위만 가능하다는 것이다.
따라서, 0.1 단위로 값을 변경하기 위해서는 약간의 응용작업이 필요하다.
먼저, 스크롤 막대를 H2 셀과 연결한 후, 1 ~ 900 사이에서 1 단위로 변경 가능하도록 설정한다.
그 후에, E2 셀에는 H2 셀의 1/10 값을 참조하도록 수식을 입력한다.
추후 θ 값이 필요할 때 E2 값을 참조하면, 0.1 ~ 90 사이에서 0.1 단위로 변경되는 값을 사용할 수 있다.
즉, 각도 θ 에 대한 스크롤 막대 옵션의 수치는 일단 다음과 같이 입력한 후에,
다른 셀 (이 예제에서는 E2)에서 =H2*0.1 과 같이 참조하면 된다.
빛의 파장 λ 의 경우에는 400 ~ 750 범위에서 10 단위로 변경하고자 한다.
따라서, 아래와 같이 설정한 후에 추후 H3 셀의 ×10 값을 사용하면 된다.
슬릿의 폭 a 는 0.0001 ~ 0.5 범위에서 0.0001 단위로 변경하도록 설정한다.
아래와 같이 입력하고, 추후 H4 셀의 ×0.0001 값을 사용한다.
슬릿 간의 간격 d 는 0.01 ~ 1 사이에서 0.01 단위로 변경할 수 있도록 설정한다.
그림과 같이 입력하고 ×0.01 값을 사용한다.
(6) 변수값 수식 입력
① 위의 스크롤 막대 설정에 대한 설명을 참고하여 E2:E5 에는 그림과 같은 수식을 입력하고,
② B3:F3 에는 E2:E5 의 데이터를 통일된 단위의 값으로 변환한다.
(7) 데이터 테이블 작성
위에서 E2 (또는 B8)은 그래프로 표시할 곡선의 X축 범위이다. (이 예제에서는 -3 ˚ ~ 3 ˚ 이다.)
이 구간을 (편의상) 총 601개의 구간으로 나누어서 각각의 X값에 대한 함수의 좌표 (X,Y)를 구한다.
(즉, X를 3×[-300/300 , -299/300 , -298/300 , ... , -1/300, 0/300, 1/300, ... , 299/300, 300/300] 으로 나눈다.)
최종적으로 이 함수값들을 선으로 연결하여 간섭곡선을 그린다.
① A열에는 X좌표값을 구분하여 계산하기 위한 데이터를 입력한다. (-300, -299, -298, ... , 0, ... , 299, 300)
데이터입력은 자동채우기 기능을 사용하면 빠르고 쉽게 할 수 있다.
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⑴ -300, -299 입력 후 A12:A13 블럭지정 |
⑵ 자동채우기 단추 드래그 |
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⑶ 자동채우기 단추 드래그 |
⑷ 완료 |
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② B열~J열에는 아래의 그림을 참고하여 수식을 입력한다. (수식에 대한 설명은 그림 아래에 있음)
(12행에만 수식을 입력하고 나머지는 자동채우기 기능을 사용하여 완료한다.)
(수식 입력 시 절대참조/상대참조 를 구별하여 입력한다.)
③ B열 : A열의 데이터를 이용하여 X좌표값을 계산한다.
예를 들어, B12 에는 =$8*A12/300 를 입력하면 3×(-300)/300 = -3 의 값이 나온다.
④ C열 : B열의 X좌표가 Degree 값이므로, 계산을 위해 Radian 값으로 바꿔준다.
⑤ D열 : E3 에서 설정한 nm 단위의 λ 값을 m 단위로 변환한 값 (D8)
⑥ E열 : α=(πa/λ)sinθ 계산
⑦ F열 : β=(πd/λ)sinθ 계산
⑧ G열 : 차트 작성을 편리하게 하기 위해서 B열의 값을 다시 한번 표시한다.
⑨ H열 : 회절인자 [(sinα)/α]2 를 계산한다.
⑩ J열 : 간섭인자 cos2β 를 계산한다.
⑪ K열 : (지금 수식을 표현하지는 않았지만, J열과 함께 그래프를 그리기 위해서 H열과 동일한 값을 입력할 예정)
⑫ 12행에 적절한 수식을 입력하였는지 확인하였으면, 이외의 셀은 자동채우기를 이용하여 완성한다.
⑬ 모든 셀이 자동계산된 후에 θ=0 이 되는 행을 살펴보면 #DIV/0! 이라고 표시된 것을 볼 수 있다.
이 표시는 "어떤 값을 0 으로 나누려고 했을 때 발생하는 오류"를 의미한다.
즉, θ=0 에서는 α 값이 0 이 되므로 분모가 0이 되어 오류가 발생한 것이다.
θ→0 일 때 (sin α / α) 값이 1로 수렴한다는 것을 알고 있으므로 이 값만 살짝 1로 바꿔준다.
(다른 행의 값은 수정하지 않는다.)
(8) 그래프 작성
그래프를 그리기 위한 데이터 계산은 완료되었다. 이 데이터 테이블을 이용하여 이중슬릿 간섭곡선을 그려보자.
① 회절인자 그래프 작성
차트 작성에 사용될 데이터범위 G11:H612 영역을 선택한다.
[삽입]-[차트] 를 선택하거나, 도구모음의  아이콘을 클릭하여 차트 마법사를 시작한다.
차트마법사 1단계에서 [분산형]-[데이터 표식 없는 곡선] 을 선택한 후 [마침]을 누른다.
회절인자에 의한 그래프가 작성되었다.
차트 서식을 적절하게 수정하여 완료한다.
② 간섭인자 그래프 작성
이미 작성된 차트가 있으므로, 차트를 다시 작성할 필요 없이 기존 차트를 활용한다.
아래의 그림과 같이 차트를 선택하면, 차트의 데이터범위가 워크시트에 표시된다.
이 데이터범위 중 H열 범위를 마우스로 클릭한 상태에서 드래그하여,
I열로 이동시키면 차트가 I열에 대한 그래프로 전환된다.
간섭인자에 의한 그래프를 확인한다.
③ 이중슬릿 간섭무늬 그래프
위와 동일한 방법으로 I열 범위를 J열로 이동하면 이중슬릿에 의한 간섭무늬를 볼 수 있다.
이중슬릿에 의한 간섭무늬와 회절인자 간의 관계를 알아보기 위해 두 그래프를 함께 표시해보자.
그래프 작성을 편하게 하기 위해 H열의 값을 K열로 가져온 후 (예를 들어 K12 의 경우 =H12 입력)
자동채우기를 사용하여 나머지 K열 값을 채운다.
차트를 선택한 상태에서 데이터범위가 표시되면, 모서리의 사각형 포인트를 클릭, 드래그하여..
K열까지 데이터범위를 확장한다.
J열과 K열의 그래프가 함께 표시되었다.
초반에 설명한 바와 같이, 회절곡선은 간섭 극대값을 제한하는 포락선(envelope)의 역할을 하는 것을 알 수 있다.
(9) 그래프 분석
스크롤 막대를 적절히 변경하면서 그래프의 변화를 관찰하여, 다음의 몇가지 현상을 확인해본다.
① 슬릿의 폭 a 가 증가/감소 할 때의 회절곡선과 간섭곡선 변화
② a 가 0 에 근접할 때의 회절곡선과 실제 간섭무늬의 형태
③ 슬릿간의 간격 d 가 증가/감소 할 때의 회절곡선과 간섭곡선의 변화
④ d=0 (단일슬릿) 일 때의 간섭곡선과 실제 간섭무늬의 형태
⑤ 빛의 파장이 변할 때의 간섭무늬의 변화
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λ = 700 nm
a = 0.03 mm
d = 0.1 mm |
λ = 700 nm
a = 0.04 mm
d = 0.1 mm |
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λ = 700 nm
a = 0.03 mm
d = 0.2 mm |
λ = 500 nm
a = 0.03 mm
d = 0.1 mm |
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λ = 700 nm
a → 0
d = 0.1 mm |
λ = 700 nm
a = 0.03 mm
d = 0 mm |
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