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1-04. 관성모멘트와 각운동량 보존
1. 관성모멘트 측정
이전에 설명한 엑셀 활용 기법을 이용하여, 직접 정리해 보도록 한다.
2. 각운동량 보존
각운동량 보존 실험을 진행한 데이터를 가지고 그래프를 작성하면, 대체로 다음과 같이 표시될 것이다.
위의 그래프에서 관성모멘트가 변하는 시점을 확대하면 아래의 그림과 같다.
ⓐ 구간은 초기 관성모멘트 Ii 에 의한 각속도 ωi 가 측정되는 구간이다.
이상적인 조건 하에서의 초기 각속도는 일정값을 유지해야 하지만,
외부 토크가 어느 정도 작용하기 때문에, 시간에 따라 각속도가 감소하는 경향을 보인다.
ⓑ 구간은 관성모멘트가 변하여 각속도가 급격히 감소하는 구간이다.
각속도가 순간적으로 ωi 에서 ωf 로 변하는 것은 현실적으로 불가능하며, 일정 시간이 소요된다.
ⓒ 영역은 관성모멘트 If 상태에서의 각속도 ωf 가 측정되는 구간이다.
역시 외부 토크에 의해 각속도가 감소하지만, ⓐ 구간과 비교하면 기울기가 다소 작은 것을 알 수 있다.
이 현상은 관성모멘트의 크기가 다르기 때문이다. 자세한 원인에 대해서는 직접 생각해본다.
그러면, 측정된 데이터를 어떻게 활용하여야 최적의 결과값을 구할 수 있을까?
본격적으로 각운동량 보존 여부를 판단하기 전에 몇가지 생각해 볼 문제가 있다.
아래의 그림과 같이, 단순히 각속도가 변하기 바로 전후의 데이터 A, B를 사용하는 것에 대해 고려해보자.
A 값을 ωi , B 값을 ωf 로 사용하기 위해서는, 다음 조건 중 적어도 하나는 만족해야 한다.
① 계에 작용하는 외부 토크가 없어야 한다. 즉, 시간에 따른 각속도 값이 일정하게 유지되어야 한다.
② Δt → 0 . 즉, A 와 B 사이에 시간차가 없는 순간적인 속도 변화가 이루어져야 한다.
이해를 돕기 위해 그림으로 표현하면, 데이터의 분포가 아래와 그림과 같이
① 관성모멘트 변화 전,후로 각속도가 일정하게 유지되거나,
② 각속도가 감소하더라고 순간적인 변화가 일어난다면,
A, B 두 개의 데이터 만을 사용하여도 계산 과정에서의 오차가 발생하지 않는다.
 
그러나 실험에서는 위의 조건을 만족하는 것이 현실적으로 불가능하다.
시간이 경과함에 따라 외부 토크에 의해 각속도가 계속해서 감소한다는 것을 감안한다면,
계산 과정에서 아래의 그림과 같은 오차 요인이 발생할 가능성을 무시할 수가 없다.
또 다른 문제에 대해 생각해보자.
그래프를 살펴보면, 각속도가 다소 불규칙하게 감소하는 것을 알 수 있다.
즉, 임의로 선택한 한 개의 측정값이 다른 모든 측정값들의 변화 추세를 대표한다고 보기에는 무리가 있다.
따라서, 단순히 A, B 두 개의 측정값만 사용하여 각운동량의 보존을 증명한다는 것은 부적절하다고 판단되며,
실험 데이터를 분석하는 보다 효과적인 방법이 필요하다고 할 수 있다.
아래의 그림은, 실험 데이터를 적절하게 분석하는 한가지 방법을 제안한 것이다.
각 ωi , ωf 측정값을 표현할 수 있는 수식(함수)을 구할 수 있다면, 데이터가 없는 범위의 값을 예측할 수 있다.
이 수식을 사용하여, 동일한 특정 시간에 대해 ωi , ωf 값을 예측하여 계산한다면,
위에서 언급하였던 계산과정에서 발생하는 오차를 최소한으로 줄일 수 있을 것이다.
위의 방법을 사용하기 위해서, 엑셀의 차트 및 추세선 도구를 활용해보자.
이 예제에서는 엑셀에서 지원하는 함수 중의 하나인 "RADIANS" 함수 및 기타 엑셀 활용 기법을 함께 설명하기 위해
DataStudio의 Angular Velocity (deg/s) 데이터를 사용하고자 한다.
DataStudio 에서 Data 를 복사하여 (Ctrl-C) 엑셀의 워크시트에 붙여넣기 (Ctrl-V) 한다.
 
A 열과 B 열 사이에 두개의 열을 삽입하기 위해 B,C 열 전체를 선택하고 단축메뉴를 이용해 삽입을 선택한다.
(차트 작성을 편하게 하기 위해서, 추가되는 두 개의 열을 A 열 옆에 배치하기 위함)
비어있는 두 개의 열이 삽입되었다.
B3 셀에 =RADIANS(D3) 를 입력한다. "RADIANS" 함수는 Degree 값을 Radian 값으로 바꿔주는 함수이다.
(반대로 Radian 값을 Degree 값으로 변경할 경우에는 "DEGREES" 함수를 사용한다.)
B3 셀에 Radian 값으로 변경된 각속도가 계산되었다.
나머지 값은 자동채우기를 사용하여 간단히 해결하자. (엑셀기초강좌 1-06. 자동채우기)
자동채우기 Tip !
자동 채우기는 보통 우측 하단의 채우기 핸들이 표시된 상태에서 원하는 셀까지 드래그 한다.
그러나, 이 경우에는 드래그할 범위가 상당히 넓으므로, 더욱 간편한 방법을 사용해 보자.
채우기 핸들이 표시된 상태에서 마우스 왼쪽 버튼을 더블클릭하면 순식간에 자동 채우기가 완성된다.
참고로, 이 기능은 바로 왼쪽 열에서 연속된 데이터가 입력된 셀까지만 유효하다.
(중간에 데이터가 없는 셀이 있으면, 데이터가 없는 셀의 바로 위의 행까지만 자동 채우기가 진행된다.) |
Degree 단위의 각속도가 Radian 단위의 각속도로 계산되었다.
이 상태에서, 관성모멘트 변경 전,후에 대해 각각의 추세선을 찾기 위해
B 열에는 관성모멘트가 ωi 일 때, C 열에는 ωf 일 때의 각속도 값으로 분리해보자.
먼저 구별하기 쉽도록 B2 셀에는 pre, C2 셀에는 post 를 입력한다.
다음으로, 각속도가 급격히 변하는 (관성모멘트가 변한) 시점의 데이터가 포함된 행을 찾아보자.
직접 수치 데이터를 뒤지는 것보다, 차트를 사용하면 보다 쉽게 원하는 행을 찾을 수 있다.
이 예제의 경우 데이터가 265 행까지 있으므로 A2:B265 범위를 선택하여 차트를 작성한다.
차트는 분산형 (점으로 표시) 를 사용한다.
차트에서 관성모멘트가 변했을 것으로 예상되는 시점의 데이터를 찾을 수 있다.
각속도가 급격히 변하는 도중의 데이터(여기서는 대략 4 개)는 필요없는 값이므로 찾아서 지운다.
마우스 포인터를 원하는 데이터 포인트로 가져가면 해당 포인트에 해당하는 데이터 값을 볼 수 있다.
A 열 (Time 값이 입력된 열) 값이 2.828 ~ 2.9 인 데이터를 찾아보면 152 행 ~ 155 행에 있다.
이 행에서 각속도 값이 입력된 B 열의 데이터는 필요 없으므로 지운다.
 
B156:B265 범위의 데이터는 관성모멘트가 변경된 후의 각속도 측정값이다.
이 범위의 데이터를 선택한 후, 마우스를 이용하여 데이터를 이동시킨다. (엑셀기초강좌 1-04. 편집 - 이동)
(복사를 할 경우 입력된 수식의 참조영역이 바뀔 수 있으니 꼭 이동하도록 한다.) (엑셀기초강좌 1-11. 참조)
 
관성모멘트가 변경된 후의 측정값이 C열로 이동되었다.
C열을 차트에 포함시켜보자. 차트를 선택하면 아래의 그림과 같이 데이터 범위가 박스로 표시될 것이다.
조절 포인트를 사용하여 마우스를 드래그하여 C열까지 데이터 범위를 확장한다.
차트에 C열이 추가된 것을 확인할 수 있다.
각각의 데이터 계열에 대해 추세선을 그리고 수식을 표시한다. (엑셀기초강좌 1-15. 차트 - 추세선)
차트를 편집하여 마무리한다. (엑셀기초강좌 1-14. 차트 - 편집)
완성된 차트와 수식을 사용하여 각운동량이 보존되는지 확인해보자.
아래의 차트는 이해를 돕기 위해 2.5 ~ 3.2 초 구간만 표시하도록 설정하였다.
관성모멘트가 변경되어 각속도가 감소하는 구간에서 적절한 Time을 선택하여,
두개의 수식에 대입하면, 특정 시간에 대한 각각의 각속도 값을 구할 수 있다.
각속도가 바뀌는 구간에서의 대략적인 중앙값인 2.86 초에 대해 ωi 와 ωf 를 구하면,
ωi = -0.6968 * 2.86 + 9.4791 = 7.49 (rad/s)
ωf = -0.4401 * 2.86 + 7.0562 = 5.80 (rad/s)
이므로 ωf = 0.774ωi 임을 알 수 있다.
관성모멘트 측정 실험에서 측정한 관성모멘트 Id 와 Ir 의 실험값을 사용하여,
이론값 ωf = [ Id / ( Id + Ir )] ωi 을 계산한 후 위의 값과 비교하고, 각운동량이 보존되는지를 판단해보자.
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실험실소개
국제캠퍼스
