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1-06. 단순조화운동과 강제진동
강제진동 실험에 대한 이해를 돕기 위해, 임의의 조건에 대한 진자의 진동 그래프를 엑셀을 사용하여 작성해보자.
(1) 개요
강제진동에 따른 진자의 운동 공식은 다음과 같다. (자세한 내용은 실험 메뉴얼 참고)
용수철의 고유진동수(ω)와 외력의 구동진동수(ω0)가 다른 조건 즉, ω≠ω0 일 때, 진자는 시간 t 에 대해
 ... (6-1)
으로 표현되는 함수식에 따라 운동한다. 여기서,
 , 
이다. 또한, 두 진동수가 동일한 조건(ω＝ω0)일 경우, 진자의 진동 함수는
 ... (6-2)
과 같이 표현된다. 그런데, 특정한 경우를 제외하면 대부분의 조건은 (6-1)식으로 표현 가능하기 때문에,
여기서는 (6-1)식 하나만을 사용하여 t - x 그래프를 작성해도 충분할 것이라 판단된다.
(2) 엑셀 워크시트 구상
아래의 그림은, 엑셀을 이용하여 그래프를 작성하기 위한 대략적인 구상도이다.
스크롤 막대를 사용하여 5 개의 변수를 변경하면 그래프가 자동적으로 바뀌는 엑셀시트를 작성해보고자 한다.
시트의 구성은 다음 그림과 같이 ① ~ ⑤ 의 5 개의 영역으로 나뉜다.
① : 스크롤 막대를 삽입하여, 마우스를 이용한 수치 변경이 가능하도록 한다.
② : 실험에서 실제로 컨트롤 가능한 물리량이며, 스크롤 막대를 사용하여 값을 변경할 수 있다.
③ : ②의 데이터를 바탕으로 공식에 포함된 물리량을 1차적으로 계산하여 그 값을 표시한다.
④ : 최종적으로 그래프 작성을 위한 데이터 테이블을 계산한다. (이론적인 그래프 좌표 계산)
⑤ : 계산된 좌표를 선으로 연결하여 그래프를 작성한다.
각각의 영역은 "셀참조"를 사용하여 연결되도록 할 것이다.
따라서 스크롤 막대를 움직일 경우 화살표 순서대로 데이터가 자동적으로 변할 것이다.
(3) 기본 시트 구성
본격적으로 시트 작성을 시작해보자. 그림과 같이 기본적인 틀을 작성한다.
이것은 알아보기 쉽게 만들기 위한 것이므로, 반드시 그림과 같은 형태일 필요는 없다.
(4) 스크롤 막대 생성
수치 변경이 용이하도록 하기 위해 시트에 스크롤 막대를 삽입하여 보자.
스크롤 막대를 생성하기 위해서는 [양식] 도구모음이 필요하다.
일반적으로, 기본적으로 표시되는 엑셀 도구모음에는 [양식] 도구모음이 보이지 않는다.
상단 메뉴에서 [보기]-[도구 모음]-[양식] 을 클릭하면 [양식] 도구모음이 생성된다.
 
아래와 같이 양식 도구모음이 생성되면, [스크롤 막대] 도구를 선택한다.
이 상태에서 워크시트의 적당한 영역을 마우스로 드래그하면 지정한 크기의 스크롤 막대가 생성된다.
스크롤 막대가 생성되면, 속성 설정을 위해 마우스 오른쪽 버튼을 클릭, 단축 메뉴에서 [컨트롤 서식]을 선택한다.
[컨트롤] 탭을 선택하면 다음과 같은 옵션을 설정할 수가 있다.
[현재값] : 현재 연결된 셀에 표시할 값
[최소값] : 막대가 좌측 끝(또는 최상단)에 위치할 때의 값
[최대값] : 막대가 우측 끝(또는 최하단)에 위치할 때의 값
[증분 변경] : 최소 변경 단위 (스크롤 막대 양 끝의 화살표 버튼을 클릭할 때의 증감 수치)
[페이지 변경] : 스크롤 막대의 빈 공간을 클릭할 때의 증감 수치
[셀 연결] : 스크롤 막대와 연결되어 값을 수치화해서 보여주는 셀의 절대주소
(5) 스크롤 막대 설정
스크롤 막대를 사용하여 추걸이의 질량 M 을 0.001 kg ~ 1 kg 사이에서 0.001 kg 단위로 변경하려고 한다.
그런데, 스크롤 막대의 수치 변경은 정수 단위만 가능하다.
따라서 0.001 단위로 값을 변경하기 위해서는 약간의 응용작업이 필요하다.
스크롤 막대를 G3 셀과 연결한 후, 1 ~ 1000 사이에서 1 단위로 변경 가능하도록 설정한다.
그리고, E3 셀에는 G3 셀의 1/1000 값을 참조하도록 수식을 입력한다.
추후 M 값이 필요할 때 E3 값을 사용하면, 0.001 ~ 1 사이에서 0.001 단위로 변경되는 값을 사용할 수 있다.
즉, 추걸이의 질량 M 에 대한 스크롤 막대 옵션의 수치는 일단 다음과 같이 입력한 후에,
다른 셀에서 =G3*0.001 과 같이 참조하면 된다.
스프링 상수 k 의 경우에는 0.01 ~ 10 사이에서 0.01 단위로 변경하고자 한다.
따라서, 아래와 같이 설정한 후에 추후 G4 셀을 ×0.01 하여 사용하면 된다.
외력의 크기 F0 는 0.0001 ~ 1 을 0.0001 단위로 변경하기 위해 아래와 같이 입력하고,
추후 G5 셀을 ×0.0001 하여 사용한다.
외력 진동수 f 는 0.001 ~ 3 사이에서 0.001 단위로 변경하고자 그림과 같이 입력하고 ×0.001 값을 사용한다.
마지막으로 그래프로 표시할 시간 t 값을 1 초 간격으로 1 ~ 100 초로 설정한다.
(6) 변수값 수식 입력
① 스크롤 막대 설정에 대한 설명을 참고하여, E3:E7 에 그림과 같은 수식을 입력한다.
② E9:E15 에는 E3:E7 의 데이터를 사용하여, 공식에서 사용할 각 변수의 값을 계산한다.
참고로, 위에서 E12 의 t 값 (E7 의 1/1000) 은 차트 작성 시, x 좌표의 시간 간격으로 사용할 값이다.
즉, 지정시간(이 예제에서는 30초) 동안의 그래프를 작성할 때, 그 구간을 1000 개로 나누어서
한개의 구간(여기서는 0.03초가 될 것이다)마다 각각의 이론값을 계산하여 (x,y) 좌표를 구한 다음,
이 좌표들을 연결하여 그래프를 그릴 것이며, t 는 이 때 필요한 값이다.
③ E9:E15 의 계산값을 사용하여, 최종 공식에서의 각 항의 계수값 A,B 를 계산한다.
(7) 좌표 계산 데이터 테이블 작성
본격적으로 차트를 구성하기 위한 데이터 테이블을 작성해보자.
I 열에는 채우기 핸들 도구를 사용하여 1 ~ 1000 까지 데이터를 입력한다.
I 열의 데이터는 E12 셀의 데이터 (t 값) 와 함께 총 1000 개의 좌표를 만드는데 사용될 것이다.
최종적으로 J3:M3 열에 그림과 같은 수식을 입력하여 공식 계산을 완료한다.
자동채우기를 할 것이므로, 절대참조를 적절히 사용한다.
나머지 J4:M1002 범위는 채우기 핸들을 사용하여 자동채우기를 한다.
(8) 차트 작성
차트를 작성하기 위해 J2:M1002 범위를 선택한다.
상단 메뉴의 [삽입]-[차트] 또는 도구모음의  를 사용하여 차트를 작성한다.
차트 종류는 [분산형]을 선택한다. 그림과 같은 차트가 작성될 것이다.
데이터 계열 a, b 의 그래프는 필요없으므로 삭제한다.
각 데이터 계열 위에서 마우스 오른쪽 버튼을 클릭한 후, 단축메뉴에서 [지우기]를 선택한다.
시간 t 에 대한 데이터 계열 x 의 차트가 작성되었다.
단축메뉴에서 [데이터 계열 서식]을 클릭하여 점으로 표시된 그래프를 선으로 연결한다.
[무늬] 탭에서 [선] 서식을 적절히 선택하고, [표식]은 [없음]으로 설정한다.
y 축 표시 범위는, 기본적으로 그래프 크기에 따라 축 눈금이 자동적으로 변한다.
만약 이것을 특정 범위로 고정하고 싶으면, y 축의 [축 서식]을 선택하여 설정값을 변경하면 된다.
여기서는 -5 ~ 5 범위로 고정해보자.
(x 축은 초기변수 t_total 설정값에 따라 축 눈금이 변해야 하므로, 자동 변경 그대로 설정한다.)
[눈금] 탭에서 [최소값]을 -5, [최대값]을 5, [주 단위]를 1 로 설정한다.
이 외 필요한 서식을 설정하고 차트 작성을 마무리한다.
(9) 그래프 분석
M, k, F0, f 값을 아래의 그림과 같이 설정할 경우, 진폭이 계속해서 증가하는 그래프를 볼 수 있다.
이 때의 용수철의 고유진동수 ω0 와 계에 작용하는 외력에 의한 진동수 ω 는 거의 일치하고 있다.
스크롤 막대를 사용하여 변수값을 임의로 변경해보자.
막대를 이동할 때마다, 참조로 이어진 셀의 수치가 자동으로 변경되면서 그래프가 재작성되는 것을 볼 수 있다.
이 시트를 사용하면, 특정 조건에서의 진자의 진동 그래프를 쉽게 예측할 수 있다.
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실험실소개
국제캠퍼스
