Exp_Ref. 단진자의 운동과 에너지 보존
1. 실험목적
단진자의 주기와 길이와의 관계를 알아보고 중력가속도(g)의 값을 측정한다. 또 진자의 위치에너지와 운동에너지의 변화를 측정하여 역학적에너지가 보존됨을 확인한다.
2. 원 리
(1) 중력가속도 측정
[그림1] 단진자 |
[그림1]과 같이 질량이 무시되는 길이 ℓ인 끈에 크기가 무시되는 질량 m 인 추가 추중심에서 진자 끝까지의 거리가 ℓ이 되도록 매달려 주기운동을 하는 것을 단진자라 한다. 추 m이 되돌아가려는 힘 f는 뉴튼의 제2법칙에의해
f = md2s/dt2= -mgsinΘ--------------(1)
진자경로의 움직인 거리 s는 s = ℓΘ이고,
d2Θ/dt2 = -(g/ℓ)sinΘ--------------(2)
가 된다. 여기서 진폭이 아주 작아서 (Θ≪ 1 ; 5°이하)라 가정하면 sinΘ≒Θ라 할 수 있으므로 식 (2)는
d2Θ/dt2 +(g/ℓ)Θ=0 ---------------(3) |
이 미분방정식의 해는
Θ=Acosωt + Bsinωt (여기서, ω=(g/ℓ)1/2 )----(4)
이다. t=0 일때 초기각은 Θ0 , dΘ/dt=0 이라 하면, A=Θ0 , B=0 이므로
Θ= Θ0cosωt ---------------(5)
ω=2πf=2πT-1 이므로 이 진자의 주기는 (☞ 일반각 단진자의 주기공식)
T=2π(ℓ/g)1/2 -----------------(6)가 된다. 따라서,
g=4π2ℓ/T2----------------------(7)
이다. 그러므로 이 식에서 T와 ℓ을 알면 g값을 구할 수 있다.
| [참고] 또는 에너지 보존에 의해
위치에너지 + 운동에너지 = E (일정)
mgℓ(1-cosΘ) + (1/2)m(ds/dt)2 = E ---------(8)
여기서 s=ℓΘ이므로 mgℓ(1-cosΘ) + (1/2)mℓ2 (dΘ/dt)2 = E
양변을 t에 관하여 미분하면
mgℓsinΘ Θ' + mℓ2Θ'Θ" =0 , 또는 Θ"+ (g/ℓ)Θ=0
이것은 위의 (3)식과 같다. |
(2) 에너지 보존
물체가 힘을 받으면 그 힘에 비례하는 가속도로 운동하게 되는데, 이때 이 힘이 한 일은 물체의 운동에너지의 변화와 같다. 이것을 일-에너지 정리라 하고 다음과 같은 식이 성립한다.
 한 물체에 작용하는 힘이 보존력 이라면, 위치에너지는 다음과 같이 정의된다.
물체가 받는 합력 Ft는 편의상 보존력장에 의한 힘 Fc와 마찰력과 같은 비보존력 Fn의 합으로 표시될 수 있다. 즉, Ft= Fc+ Fn
일-에너지 정리 (9)로부터
식(10)를 식(12)에 대입하면,
이다. 만일 물체에 작용하는 힘이 보존력 뿐이라면 마찰력에 의한 일은 0 이므로
이므로 식 (13)은 K-K0+ (U-U0) = 0 또는
K0+U0= K+U = 일정 -----------------(15)
이다. 즉, 외력이 작용하지 않는 보존력장 에서는 운동에너지와 위치에너지를 합한 총 에너지는 보존된다. 본 실험에서 단진자의 경우에 중력장은 g의 크기를 가지므로 진자를 y만큼 높이면 진자의 가장 낮은 지점보다 위치에너지가 DU=mgy 만큼 증가하게 된다. 진자가 가장낮은 위치에서 운동에너지가 최대가 되며 그때의 크기는 (1/2)mv2 이 된다. 그때의 속도는 포토게이트를 게이트 모드(gate mode)에 놓고 진자가 게이트를 통과하는 시간을 측정하고 진자의 직경을 알면 구할 수 있다.
(1/2)mv2 = mgℓ(1-cosΘ) v = [2gℓ(1-cosΘ)]1/2 -----------(16)
3. 기구 및 장치
(1) 단진자용 스탠드 와 원형 각도계(스탠드 고정용)
(2) 단진자(Fe, Al, Cu 3가지 종류 추), 실
(3) 포토게이트(Photogate timer) 및 아답타 (DC 9V)
(4) 버니어캘리퍼, 줄자
4. 실험방법
(1) 중력가속도 측정
① 진자의 길이를 약 1m로 조정하여 고정 시킨다.
② 삼각자와 미터자를 이용해서 추의 밑바닥가지의 길이 l+r을 3회 정도 측정하여 평균값을 구한다. (버니어캘리퍼로 추의 직경 2r을 재어 r을 구한다.)
③ 같은 방법으로 추의 윗부분까지의 길이 l-r을 3회 정도 측정하여 평균값을 구한다.
④ 포토게이트의 수광부(Detector) 위치가 추의 중앙에 오도록 높이를 잘 맞춘다.
⑤ 추를 약간 흔들어 진폭을 아주 작게(약 5°이하) 진자가 연직면상에서 진동하도록 한다.질량이 다른 추, 세 종류의 진자를 같은 길이로 설치하여 각각의 주기를 측정한다. 이때 주기는 10내지 20회의 진동시간을 재고, 1회 진동시간을 구한다.
⑥ 한 개의 진자를 선택하여 길이를 변화시키고 주기를 측정하여 위의 경우와 비교한다.
⑦ 진폭을 충분히 크게 하여 주기를 측정하고 앞의 경우(같은 길이의 진자)와 비교해 본다.
⑧ 주기와 길이를 사용하여 중력가속도(g)를 구한다. 길이는 물체의 질량중심에 대해 보정을 한 값을 사용해야 한다.
(2) 에너지 보존
① 중력진자를 지지대에 줄력진자 각도계의 눈금이 0도인 위치에 오도록 조정한다. 중력진자의 무게중심을 계산하여 진자에 표시한다.(여기서는 원형구슬의 중앙으로 봐도 좋다.)
② 포토게이트의 센서부분, 발광부 와 수광부(Detector) 사이를 잇는 직선에 진자의 무게중심을일치시킨다.
③ 진자를 가장 낮은 위치에서 움직이지 않게하고 자로 그때의 높이를 잰다.
④ 포토게이트를 게이트 모드에 놓고 진자를 끌어올려 그 지점의 연직높이 또는 각도를 기록한 다음, 포토게이트 타이머의 reset 단추를 누른후 진자를 가만히 놓는다.
⑤ 진자가 포토게이트를 통과할 때 시간을 기록하고 최저점에서의 속력과 운동에너지 그리고 처음 위치에서의 위치에너지를 비교해본다.
⑥ 중력진자의 위치를 각도계 15, 30, 45, 60도 등으로 변화시키면서 (3),(4),(5)의 과정을 반복하고 에너지보존을 이해한다.
5. 참 고
(1) 만유인력상수(G) 측정실험 (카벤디쉬 실험) / Torsion Balance 실험장치
(2) 단진자 모의실험(Java-Applet)
(3) 일반적 단진자의 주기공식 / 세상에서 가장빠른 진자
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[결과보고서] |
1. 실험값 및 결과
1) 중력가속도 측정
(1) 진자의길이(ℓ) 및 추의 반경(r) 측정
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측정횟수 |
1 |
2 |
3 |
평균 |
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실의길이(l) |
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추의반경(r) |
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진자의길이(ℓ) |
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∴ 진자구의 직경(d)= ㎜ 진자의 길이ℓ(=l+r)= ㎜
(2) 5°이하 미소진동 횟수와 누적시간, 중력가속도 측정(포토게이트: gate모드)
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흔들이 횟수(N) |
측정시간(t) |
주기(T=2t/N) |
중력가속도(g=4p2ℓ/T2) |
오차(%) |
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10회 |
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20회 |
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30회 |
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40회 |
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50회 |
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2) 에너지 보존
: 단진자의 초기 위치에너지가 최저점에서 전부 운동에너지가 되는가를 확인한다.
[진자의 길이(ℓ) 및 추의 반경(r) 측정]
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측정횟수 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
평균 |
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실의길이(l) |
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추의반경(r) |
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진자의길이(ℓ) |
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∴ 진자구의 직경(d)= ㎜ 진자의 길이ℓ(=l+r)= ㎜
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초기각도 |
통과시간 |
최저점 속력 |
초기 위치에너지 |
운동에너지 |
오 차 |
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q(degree) |
t(sec) |
v≒d/t |
Eh=mgℓ(1-cosq) |
Ev=1/2mv2 |
e=Ev/Eh×100(%) |
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20° |
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30° |
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45° |
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60° |
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70° |
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2. 결과 및 토의
3. 참고문헌
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실험실소개
국제캠퍼스
일반물리실험1
1.
