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Exp_Old. RLC 교류회로
(Last Updated 2008/10/29) 1. 실험목적
저항(Resistor), 축전기(Capacitor), 인덕터(Inductor) 등의 회로소자에 교류전압을 걸었을때 회로에 흐르는 전류와 전압의 위상관계를 알아보고, 또, R-L-C 직렬회로에서 주파수가 변화할때 회로의 공명현상을 관찰하고 공명점의 물리적 의미를 이해한다.
2. 원 리
(1) R, C, L 회로소자와 위상관계
① 저항(R)
회로에 저항만(L=C=0)이 [그림 1(a)]와 같이 교류전원(V = V0 sin(ωt)) 에 연결될 때, 키르히호프 법칙(Kirchhoff’s law) 에 의해
[그림1] 저항 R 만의 회로
V = VR , V0 sin(ωt)- IR = 0
과 같이 표현된다. 시간에 따른 전류변화를 표현해 보면
I(t) = V/R = V0/R sin(ωt)
이다. 즉, 전류는 옴의 법칙(Ohm’s law)에 주어진 바와 같이 저항에 반비례하여 감소하는 것을 볼 수 있다. 저항 양단에 걸리는 전압 VR 은 기전력(emf) V 값과 같으므로 [그림1(b)]와 같이 전류와 전압은 같은 위상을 가지고 있다. 전류와 전압의 위상 변화를 좀 더 명확하게 보기 위해 [그림1(c)]와 같이 페이저(Phasor)를 그려 살펴 볼 수도 있다. 각각의 화살표를 전류와 전압의 페이저라고 했을 때, 화살표의 길이를 각 페이저가 가지는 진폭(Amplitude)으로 하며 그래프의 x축과 페이저 사이의 각을 위상(Phase)으로 정의할 수 있다. 이 경우, 전류와 전압의 위상은 동일하므로 페이저를 일직선 상에 놓을 수 있다. 저항체의 저항(Resistivity)은 옴의 법칙에 의해
XR = VR / I = R
로 생각할 수 있다. 저항체는 저항에 비례하여 에너지를 열로 전환시키는 역할을 한다.
② 축전기(C)
[그림2(a)]와 같이 축전기 C 만의 회로에 교류전압을 가하면 키르히호프 법칙에 의해
[그림2] 콘덴서(C)만의 회로
V = VC , V0 sin(ωt) - q/C = 0 (q = ∫Idt)
이다. 양변을 t에 대해 미분하면
ωV0 cos(ωt)- 1/C I = 0
∴ I = ωCV0 cos(ωt)= ωCV0 sin(ωt+π/2)
즉, 직류전원 경우와는 달리 회로에는 전류가 흐르며 전류 파형은 [그림2(b)]와 같이 전압 파형보다 90° (=π/2 rad) 위상이 앞서 있음을 알 수 있다. 이는 페이저를 이용한 [그림2(c)]에서도 쉽게 확인할 수 있다. 축전용량(Capacitance) C 가 크거나 축전기에 걸리는 전압 V가 클수록 충전되는 전하량 q가 커지므로 회로에 흐르는 전류는 비례하여 커지게 된다. 또한 교류전원의 주파수가 커질 수록 전류는 증가하게 된다.
[그림2(c)]에서 전류 페이저 IC를 기준으로 살펴보면 전압 페이저 VC는 전류에 비해 90° 뒤쳐진 것을 알 수 있다. 페이저 사이의 각 θ를 표현하는데 ∠θ 를 도입하면
VC = I /ωC ∠-90°
으로 표현할 수 있다. 축전기 C에 의한 저항을 전기용량 리액턴스(Capacitive Reactance)로 정의할 수 있으며 위상을 고려하지 않은 크기는
XC = VC/I = 1/ωC
로 주어진다.
[참고]
(1) 복소수 개념을 도입하면 페이저 사이의 각 θ차이를 eiθ= cosθ + i sinθ 로 생각할 수 있다. 따라서 -90° 차이는 eiθ= ei(-90°)=cos(-90) + i sin(-90) = -i 로 주어지며 위상을 고려한 전기용량 리액턴스의 값은 XC = 1/iωC 로 주어진다.
(2) 축전기는 원리적으로 2장의 금속판을 떨어트려 놓은 것으로 직류 전류는 흐르지 않는다. (직류에 대하여 저항은 ∞) 단, 교류의 경우 충전되는 전하량이 시간에 따라 변하며 이 전하량의 변화로 인해 전체 회로에서 흐르는 전류가 된다. 이로 인해 축전기에는 교류전류가 흐르게 된다. (교류에 대하여 저항은 XC) |
③ 인덕터(L)
[그림3(a)]와 같이 인덕터 양 끝에 교류 전압을 가하면 키르히호프 법칙에 의해
 [그림3] 인덕터(L)만의 회로V = V L , V 0 sin(ωt)- L d I/dt = 0
L I(t) = -V0/ωcos(ωt) + C
여기서 적분상수 C는 시간에 무관하므로 전류의 직류 성분으로 볼 수 있다. 회로에 직류 전류는 없으므로 C=0 으로 놓으면
I = -V0/ωL cos(ωt) = V0/ωL sin(ωt-π/2)
이번에는 [그림3(b)]와 같이 전류파형이 전압보다 90° 지연되어 있음을 알 수 있고 이는 [그림3(c)]와 같이 페이저로 표현할 수 있다. 인덕턴스 L, 교류전원 주파수가 높아질수록 회로의 저항성분이 커지며 전류는 작아진다.
전류 페이저 IL 을 기준으로 살펴보면 전압 페이저 VL 은 전류에 비해 90° 앞선 것을 알 수 있으며
VL = IωL ∠90°
이다. 인덕터 L에 의한 저항을 유도 리액턴스(Inductive Reactance)로 놓을 수 있으며, 위상을 고려하지 않은 크기는
XL = VL/I = ωL
이다.
[참고] (1) 위상을 고려한 전기용량 리액턴스의 값을 복소수로 표현하면 XL = iωL로 주어진다.
(2) 인덕터는 단지 전선을 감아놓은 부품이므로 직류 전류는 용이하게 흐른다. 즉 이상적인 인덕터의 내부 직류저항은 0 이다. 이것은 축전기의 직류적 저항이 무한대 라는 것과 대응하고 있다. 인덕턴스 L의 전기적 특성을 축전기 C와 비교해 보면, 직류 또는 교류에 대해서 정확히 반대이다. |
(2) R-L-C 공명회로
[그림4(a)]와 같이 RLC 직렬회로에서 주파수 f의 교류전압 V를 가할 때, 직렬회로 전체에 흐르는 전류는 동일하다. 또한, 위의 세가지 간단한 회로에서 보다시피, 전류와 전압은 위상차이가 있으므로 [그림4(b)]와 같이 페이저로 표현할 수 있다. RLC 회로의 전류와 전압은
 [그림4] RLC 직렬회로I = I0 sinωt V = V tot sin (ωt-δ)
로 쓸 수 있다. 여기서 δ는 전류와 전압의 위상차이이다. 키르히호프 법칙에 의하여 R-L-C 소자 전체에 걸리는 전압은 위상차이를 고려하면
Vtot = VR + VL + VC
가 되며 그 진폭 Vtot 는 [그림4(b)]의 도형으로부터 구할 수 있다. 각 페이저의 크기와 방향를 고려하면 크기는
이며 각 δ는
으로 생각할 수 있다. 옴의 법칙에 의해 전체 회로 저항의 크기는
이다. 이 때, Z를 임피던스(Impedance) 라고 부르며 단위는 Ω (ohm) 이다.
[참고] 위상을 고려한 복소 임피던스는 다음과 같이 주어진다.
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[그림5] RLC 회로의 공명곡선 |
임피던스 Z를 고려하였을 때, 전체 회로에 흐르는 전류 I는 V/Z 이므로 회로의 임피던스가 최소일 때, 즉 XL=XC에서 회로전류는 [그림5]와 같이 최대가 되며, 이를 공명점이라 한다. 회로의 공명주파수는
이고, 이 주파수에 대해 전기용량 리액턴스와 유도 리액턴스 성분이 상쇄되어 마치 저항 R 만의 회로로 생각할 수 있다.
이 전기적인 공명은 많은 회로에서 사용되는데 특히, 라디오나 TV 수신장치는 방송을 선정하는데 공명회로를 사용한다. 여러가지 주파수의 전파가 회로에 도달하지만 공명주파수 근처에 있는 진동수에 대해서만 강한 전류가 흐르게 된다. 우리는 L과 C 중 어느 하나를 변화시켜서 회로를 여러가지 다른 방송 주파수에 동조하게 할 수 있다. |
우리는 이 실험에서 RLC 직렬회로를 구성하고 전원 주파수를 변화시켜가며 저항양단의 (최대)전압을 측정하고 주파수에 따른 전압변화 곡선을 얻을 것이다. 또, 이 그래프에서 저항에 걸리는 전압이 최대가 되는 공명 주파수를 구하고 이론값과 일치하는가 확인한다.
3. 실험기구
(1) 컴퓨터 및 인터페이스 장치
(2) 파워앰프(Power Amplifier)
(3) RLC 회로판 (R=100Ω, C=100㎌,330㎌,
L=12.7mH with core)
(4) 전압센서 2개 (측정범위 0~10V)
(5) 멀티테스터
(6) 리드선 4 (긴것 2, 짧은것 2) |
 | 4. 실험방법
(1) R, C, L 회로
① 데이터스튜디오 프로그램을 실행하고 채널A 에 파워앰프를 설정하고 딘 플러그를 연결 한다.
[그림5] 센서의 셋업 |
[저항만의 회로]
② 파워앰프 출력단자와 회로판의 10Ω저항 양단을 연결하여 R 만의 회로를 구성한다.
③ 채널A에 파워앰프를 연결하고 신호발생기는 사인파 5.00V, 100Hz, Auto로 설정한 다음, 파워앰프 뒷면 전원을 켠다. |
[그림6] R에 교류전압을 가할때 |
④ 스코프아이콘  을 데이터영역 Output Voltage로 끌어가서 스코프윈도우를 띄우고 scope1을 다시 Current, ChA 로 끌어가면 [그림6]과 같이 된다.
⑤ 적색은 저항양단에 가해지는 전압파형, 녹색은 회로에 흐르는 전류(파워앰프 자체에서 전류값을 보여준다)를 나타낸다.
⑥  를 누르고 스코프 윈도우의 트리거(Trigger) 아이콘  를 눌러서 파형을 정지시키고 ms/div, V/div를 적당히 조절하며 파형을 관찰한다. |
⑦ 정지  한 후, 스코프를 최대로 확대, 스마트커서  를 선택하여 전압-전류 두 파형 사이의 위상차와 전류의 최대값을 관찰하여 기록한다. 두 파형의 주기는 같은가? 위상에는 변화가 있는가?
[스코프 데이터 저장]
필요하다면 파형이 스코프에 남아있는 상태에서 테이터저장 아이콘  (Transfer data)을 클릭하면 데이터영역에 파일이 생성된다. (전류 데이터도 저장하려면 우측에서 마우스로 선택해주고 저장) 실험파일은 적당한 이름의 R_test.ds 파일로 저장하여 가져간다.
[외부 데이터로 저장] 'File => Export Data => 저장할 데이터 선택' 하여 ex.txt 파일 등으로 저장하면 엑셀 프로그램 등으로 처리할 수 있다. |
[그림7] C에 교류전압을 가할때 |
[콘덴서만의 회로]
⑧ 파워앰프 출력단자를 회로판의 100㎌ 콘덴서 양단에 연결하여 콘덴서만의 회로를 구성하고 신호발생기의 출력 설정은 사인파 5.00V, 100Hz 설정 그대로 놔둔다.
⑨ 위와 마찬가지로 를 눌러서 스코프 윈도우로 파형을 관찰한다. 스마트커서 를 사용하여 전압과 전류의 위상차, 그리고 전류의 최대값을 측정하여 데이터를 기록한다. 전압에 대해 전류의 위상변화는 얼마만큼의 차이를 보이는가? 전류의 진폭은? |
[그림8] C에 교류전압을 가할때 |
[인덕터만의 회로]
⑩ 파워앰프 출력단자를 회로판의 인덕터(내부에 강철막대를 넣음) 양단에 연결하여 인덕터만의 회로를 구성하고 신호발생기의 출력 설정은 5.00V, 2000Hz 사인파로 잡은 다음, 위와 같은 방법으로 다시 관찰한다.
⑪ 전원전압에 대해 전류의 위상변화는 얼마만큼의 차이를 보이는가? 전류의 진폭은? 교류주파수가 증가할수록 파형의 변화는 어떠한가? ☞ 신호발생기의 최대 출력주파수는 5kHz 이다. 교류전압에 대한 전류진폭을 측정함으로써 C 값이나 L 값을 측정할수 있는가? |
| [주의] 콘덴서나 인덕터에서는 실험하기 전에 먼저 입력하는 교류주파수에 대한 리액턴스 저항값을 계산해보고 전류가 적당한가를 먼저 생각한다. ☞1A 이상의 과전류가 흐르지 않도록 주의! |
(2) RLC 공명회로
1) 장비의 셋업
[그림9] 센서의 셋업 |
① 셋업을 초기화하고 전압센서를 채널A 에 파워앰프를 채널B에 연결하고 프로그램에서도 설정해준다. [실험전에 먼저 테스터기를 사용하여 실험하고자 하는 저항 R 과 인덕터의 저항 RL을 측정하여 기록해둔다]
② [그림10]과 같이 회로판에서 R(10Ω), L(12.7mH), C(100㎌)가 직렬회로가 되도록 파워앰프의 출력단자를 R,C 하단에 연결하고 채널A의 전압센서는 10Ω저항 양단에 연결한 다음, 인덕터에 철심을 넣는다. |
[그림10] 장치의 셋업 |
[그림11] 스코프의 설정 |
[그림12] 노트패드의 사용 |
③ 신호발생기의 출력은 사인파, 5.00V, 20Hz, Auto로 설정한다.
④ 스코프아이콘 을 좌상단(Data영역) Output Voltage(V)로 끌어가서 스코프윈도우를 띄우고 다시 Scope1을 Voltage ChA, Current ChB(파워앰프 자체가 전류센서역할)로 순서대로 끌어가면 왼쪽과 같이 된다.(색깔별로 파형 및 스마트커서 값이 표시되므로 잘 구분)
⑤ 노트윈도우를 띄우고 (바탕화면의 시작-실행을 클릭하고 notepad 입력-엔터) [그림12]과 같이 F [Tab] V를 입력하고 밑으로 F 란에는 먼저 변화시킬 값들을 20~300 까지 10 간격으로 적어주고 V 를 입력할 준비를 한다. 이때 F 와 V 사이(데이터 사이)는 키보드상의 [Tab] 키로 구분한다. |
2) 데이타 관찰 및 분석
① 시작버튼 을 눌러 실험을 시작하고 파형 관찰을 시작한다. ms/div 와 V/div (A/div)를 적당히 조절하며 스코프 내에서 파형을 최대 크기로 확대한다.
② 스코프를 최대로 확대하고 정지 , 스마트커서 를 선택하여 채널A(적색)를 통하여 측정되는 저항양단의 최대전압을 측정하여 이 값을 노트패드의 V 란에 적어준다.
③ 다음, 신호발생기의 주파수(Hz)를 20Hz로 변화시키고 다시 최대전압을 측정하여 이 값을 기록한다. 필요하다면 수평,수직크기를 변화시키며 파형을 관찰한다.
[그림13] RLC 회로의 공명곡선 |
④ 위의 과정을 반복하여 주파수를 300Hz 까지 변화시키며 전압을 측정하고 전압이 최대가 되는 값 부근에서 주파수를 5Hz, 1Hz 씩 변화시켜가며 다시 측정하고 노트패드를 편집하면 최대값 부근(공명점)에서 더욱 조밀한 그래프를 얻을 수 있을 것이다.
⑤ 실험이 끝나면 노트패드에 적혀있는 데이터를 적당한 이름으로 저장한다.
⑥ 다시, 데이터스튜디오 프로그램에서 File - Import Data... 하여 이 txt 파일을 불러오면 데이터 영역에 표시되고 이곳으로 그래프아이콘  을 끌어가면 F:V의 그래프를 얻을 수 있다. ( [그림13] 참조)
⑦ 그래프에서 스마트커서를 사용하여 공명 주파수를 구하고 이론값과 일치하는가를 확인해 본다. 오차가 있다면 그 이유는 무엇 때문일까?
⑧ 특정한 주파수에서 저항양단의 전압이 커지는 물리적 이유는 무엇인가? 설명해보라. 회로전류에 대한 공명곡선은 전압에 대한 공명곡선과 어떤 차이가 있는가? |
[다른 방법에 의한 최대전압 변화의 관찰]
[방법1] 리사쥬(Lissajous) 도형을 이용한 관찰
 
공명점에서는 L과 C가 서로 상쇄되어 전원전압과 저항에 걸리는 전압의 위상이 같아지고 저항양단의 전압이 최대가 된다.
그러므로 스코프윈도우에서 시간축(x축) 대신 채널A-전압(R 양단전압; 데이터영역의 Voltage, ChA를 스코프의 x축으로 끌어온다)을, y축은 전원전압 하나만 선택하면 리사쥬 도형이 나타난다. 이때 두파형에 위상차가 있을때 타원형이 표시되고 두 파형이 동 위상일때 직선이 표시된다. 공명주파수만을 구하고자 할때는 이 방법으로 쉽게 찾아낼수있다.
[방법2] 디지털 메터윈도우를 이용한 관찰
디지탈메타 윈도우를 사용하여 자동으로 최대전압 값을 측정하는 방법을 생각해보자.
스코프윈도우 대신 디지탈 메타 윈도우를 띄우고(디지털표시 아이콘  을 Voltage, ChA로 끌어감) 메터윈도우의 통계아이콘  - Maximum, Apply To All을 선택해주면 측정되는 전압값을 자동으로 비교하여 최대값을 보여줄 것이다. 스마트커서에 의한 측정보다 비교적 매끄러운 곡선을 얻을수 있을것이다.
[주의] 천천히 시간적인 여유를 갖고 그 값이 5초 이상 변하지 않을때 그 값을 최대값으로 적어준다. |
[질문]
① 인덕터의 내부저항 요소는 어떻게 고려해야할까? 또, 내부저항이 0 에 가까울수록 어떤 변화가 있는가?
② RLC 회로의 전압-주파수(또는 회로전류-주파수)공명 곡선에서 좌우대칭이 되지않는 이유는 무엇일까?
③ 전류에 대한 공명곡선은 어떻게 될까? 전압에 대한 공명곡선과 어떻게 다른가? 실제로 그래프를 그려보자. |
5. 참 고
(1) LRC 회로(pdf 파일)
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실험실소개
국제캠퍼스
일반물리실험1
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