연세대학교 물리학실험실(Yonsei Phylab)

Exp_Old. RLC 직류회로

(Last Updated 2007/6/28)

1. 실험목적

축전기(Capacitor) 및 인덕터(Inductor)에 직류전압이 가해질 때 충,방전되는 전압 및 인덕턴스 작용을 그래프로 관찰하고, 정전용량, C와 인덕턴스, L값이 실험값과 일치하는가를 확인한다.

2. 원 리

(1) RC 회로 (콘덴서의 충방전)

[그림1] RC회로

[그림1]과 같이 직류전압 V₀가 전하가 축적되어 있지 않은 축전기 콘덴서에 인가되면, 키르히호프(Kirchhoff)의 폐회로 법칙에의해 V₀ -iR - q/C = 0 ------(1)이고, i = dq/dt 이므로

R(dq/dt) + q/C = V₀
이 미분방정식의 해는

q = CV₀(1 -e^-t/τ) ------(2)
회로전류는 i= dq/dt = (V₀/R)e^-t/τ이다. 여기서 CV₀=q₀ 는 콘덴서에 충전되는 최대 전하량이며 시정수 τ= RC 이다.
즉, 회로전류는 아주 짧은 시간동안 흐르며 콘덴서는 지수함수적으로 충전을 하고 정상상태에서는 전류가 흐르지 않는다. 콘덴서에 전하가 절반이 충전되었을 때의 시정수는

t_1/2= τln2, C = t_1/2/(R ln2) ------(3)
선택스위치를 하단으로 하면 방전의 경우가 되고 이 경우도 마찬가지 방법으로 해석하여 각각의 경우 콘덴서 양단의 전압 V_c 는 다음과 같다.

V_c = V₀( 1 -e^-t/τ) [충전]------(4)
V_c = V₀ e^-t/τ [방전]------(5)

우리는 이 실험에서 콘덴서에 전압이 절반이 충전되는 시간을 측정하여 콘덴서의 충전용량 C 를 구한다.

(2) RL 회로 (인덕턴스 작용)

[그림2] RL 회로

직류전압이 저항과 인덕터의 직렬회로에 가해질때 정상전류는 다음과 같다. I_max= V₀ / R
여기서 V₀는 가해진 전압이고 R은 회로내의 총 저항이다.

그러나 인덕터는 전류증가에 대해 반대의 기전력(emf)이 발생하기 때문에 이 정상전류가 유지되기 까지는 약간의 시간이 걸린다.
키르히호프의 폐회로 법칙에 의해 (저항에서는 전압강하, 인덕터에서는 역기전력을 모두 더한 값)

V₀ - IR -L(dI/dt) = 0 ------(6)
이 미분방정식의 해는

I = V₀/R (1-e^-(R/L)t) = I₀(1-e^-t/τ)
여기서 L은 인덕턴스이고 τ= L/R 는 유도 시상수이다.
유도 시상수는 전류 I 가 그 최대치 I_max의 0.63배 (=1-e^-1), 즉 63% 로 상승(또는 37%로 하강)하는 시간을 나타낸다. 전류가 최대치의 반으로 상승 또는 하강하는 시간은 유도시상수와 다음과 같은 관계가 있다.

t_1/2= τln2, L = R t_1/2 / ln2 ------(7)
저항 R에 걸리는 전압은 V_R = IR 이므로 위의 전류값을 대입하면 V_R = V₀ (1-e^-t/τ) 이다.
인덕터에 걸리는 전압은 V_L = L(dI/dt) 이므로 인덕터에 걸리는 전압은 t=0 일때 최대이고 지수적으로 감소한다.

V_L = V₀ e^-t/τ ------(8)
t≫τ일때 정상전류 I_max(= V₀/R) 가 흐르고 저항 R에 걸리는 전압은 가해진 전압 V₀와 같다.
만약, 최대 전류가 흐를때 다시 전원을 끈다면 인덕터에 다시 역기전력(-V₀)이 작용하여 인덕터 전압과 저항에 걸리는 전압, 전류는 지수적으로 감소 할 것이다.

[표1]

DC voltage ON	DC voltage OFF
I = I_max(1-e^-t/τ) V_R = V₀ (1-e^-t/τ) V_L = V₀ e^-t/τ	I = I_maxe^-t/τ V_R = V₀ e^-t/τ V_L = -V₀e^-t/τ

직렬회로를 지나는 모든 전압의 대수적 합은 0 이 되므로 임의의 시간에 대해 키르히호프의 폐회로 법칙이 성립함을 알수있다. 다른말로 하면 V_R 과 V_L 의 합은 인가된 전압 V₀ 와 같다.
그러나 위의 식 [표1]은 인덕터 L의 (직류)저항성분이 "0" 일때의 결과이다. 실제로 인덕터에는 저항성분이 있으므로 위의 식은 아래와 같이 수정되어야 한다.
(식(6)의 방정식에서 R => R+ R_L 성분을 넣고 각자 유도해 보자)

[표2]

DC 전압 ON	DC 전압 OFF
I = V₀/R_T (1-e^-t/τ) V_R = RV₀/R_T (1-e^-t/τ) V_L = V₀/R_T (R_L+Re^-t/τ)	I = V₀/R_T e^-t/τ V_R = RV₀/R_T e^-t/τ V_L = -RV₀/R_T e^-t/τ

여기서, R_T = R + R_L , τ= L/R_T (L = R_T t_1/2/ln2) 이다. 뒤에서 알겠지만, 이 식은 우리의 실험결과와 잘 일치한다.

[참고] 위의 식에서 보는 바와같이, R-L 회로에 전압 V₀ 가 가해지는 순간(DC-ON), 인덕터에 역기전력 V₀ 가 가해져 전원전압과 크기가 같아 전류가 0 이지만 시간이 지남에 따라 회로전류는 증가한다.
반대로 전원이 꺼지는 순간(DC-OFF), 인덕터에 생기는 역기전력은 저항에 걸려 있던 전압과 크기가 같음(방향은 반대)을 알수 있다.

3. 실험기구

(1) PC and 750 인터페이스
(2) 파워앰프(Power Amplifier)
(3) RLC 회로판
(R=100Ω, C=100㎌,330㎌,
L=12.7mH with core)
(4) 전압센서 2ea (range 0~10V)
(5) 멀티테스터
(6) 리드선 4개(긴것2, 짧은것2)

4. 실험방법

(1) RC 회로

1) 장비의 셋업과 데이터저장

[그림3] 센서의 셋업

① 데이터스튜디오 프로그램을 실행하고 [그림3]과 같이 채널A에는 전압센서, 채널B에는 파워앰프를 설정학도 실제로 센서 플러그를 연결해 준다.

② 신호발생기의 출력 설정은 4.00V, 1.2Hz,

양의구형파(positive squire Wave), Auto(디폴트값)로 설정하고 파워앰프 전원을 켠다. [주의] 위와같이 항상 파워앰프의 전원은 출력을 설정한 다음 나중에 켠다.

[Fig.4] RC circuit 연결

③ 샘플링 옵션

=> Automatic Stop 에서 Time은 2.00 seconds(2초동안 실험)로 쓰고 확인 한다. 전압센서 아이콘을 더블클릭하여 샘플링속도(Sample Rate)는 1000Hz로설정한다.

④ R-C 직렬회로가 되도록 회로판의 인덕터 코일 양단을 리드선으로 연결(인덕터 무시)하고 파워앰프의 전원 출력단자를 100Ω,330㎌ 하단부의 파란색 단자에 리드선으로 연결한다.

⑤ 전압센서A 를 330㎌ 콘덴서(표면에 - 극성이 화살표로 표시되어 있으므로 구분하여 극성에 맞게 연결!) 양단에 연결한다.

⑥

아이콘을 좌상단(Data영역) 채널A, Voltage로 끌어가서 v-t(콘덴서 양단전압) 그래프윈도우를 띄운다.

⑦ 담당조교에게 배선상태를 확인받고

를 누른다. 데이타 저장을 시작하면 2초간 데이타 저장후 자동으로 종료된다. (시간 미지정시 데이터가 너무 많이 저장됨)

2) 데이터분석

① 그래프 윈도우에서 오토스케일(Autoscale)

을 누르고 콘덴서 및 저항 양단의 전압변화를 관찰한다. ([그림5]는 실험에서 실제로 나타나는 곡선. 우측은 확대)

[그림5] 콘덴서의 충,방전 곡선

② 부분확대 아이콘

을 누르고 그래프에서 자세히 보기원하는 전압상승 영역을 확대한다.

③ 원하는 위치의 값을 정밀하게 읽기위해 그래프를 모니터에서 최대한 확대하고 스마트커서(Smart Cursor)

를 선택하고 커서를 전압이 상승되는 지점에 위치시켜서 시간값(t₀)을 기록한다.

④ 스마트커서를 최대전압의 1/2 지점인 2.00V 되는 지점에 위치시키고 그때의 시간값 t_1/2' 을 기록한다. (더욱 정확한 값을 얻기 위해 필요하다면 샘플링의 속도를 5000Hz 정도까지 높일수있다. 그래프 윈도우의 시간축 크기는 ms 단위로 잡고, 시간값은 데이타테이블을 이용하여 소수 6째자리 까지 찾을것을 권장!)

⑤ 두 시간사이의 차이 t_1/2 (=t_1/2'-t₀)를 구하고, t_1/2= τln2 = RC ln2 관계로부터 C 값을 구한다.

⑥ 방전 곡선에서도 위와같이 계산하여 보자. 콘덴서가 충전될때와 방전될때 시상수는 같은가? (전원은 1.2Hz를 주기로 4V가 가해졌다 0이 됬다 하는데 0V 에서 왜 콘덴서는 방전 곡선이 나타났을까?)

⑦ 실험에서 구한 C 값을 용량값과 비교하여 오차(%)를 계산해보라. 이 값은 오차허용 범위인 20% 이내에 있는가? (콘덴서의 공칭값-표면에 표기된 값; ±20% 오차를 허용-을 참값으로 사용하고 만약, LCR 메타가 있다면 콘덴서의 C 값을 측정하여 이 값에 대한 오차를 계산한다) 또 충방전 전류에 대한 데이터 그래프를 얻어보고 회로전류의 흐름 양상을 설명하여 보자.(그래프셋팅-Layout탭-Layering-Overlay Graphs를 이용하여 여러그래프 동시 표시가능)

⑧ [키르히호프의 법칙] 전압센서를 2개 사용하여 저항과 콘덴서 양단의 전압을 동시에 측정하고 얻은 데이타를 이용하여 임의의 시간에 대해 키르히호프의 법칙을 만족하는가를 알아보자. ☞ 채널A와 C의 전압 그래프를 합한 그래프 V는 전원입력과 같은가를 확인. (V=V_R+ V_C)

[그림6] 계산기윈도우의 활용

ⓐ 먼저 계산기

를 띄우고 [그림6]과 같이 Definition 란에 V = Vr+ Vc를 입력한 다음, Properties를 클릭하여 V를 정의(그림우측-다른 것은 디폴트값)해주고 Variables 란에서 위 그림과 같이 표시되도록 Vr, Vc를 정의해 준다. 그러면 데이터 영역(화면 좌상단)에 V = Vr+ Vc 가 표시될것이다.

ⓑ

⑨ 100㎌ 콘덴서에 대해서도 위의과정과 같이 충방전 양상을 관찰하고 전기용량 C값을 구해보자.

(2) R-L 회로

1) 장비의 셋업과 데이터저장

[그림7] RL 회로 연결

① R-L 직렬회로가 구성되도록 파워앰프 출력단자와 R(100Ω), L의 양단자를-[그림7] 참조- 연결한다. 전압센서는 코일 양단에 연결한 다음 코일 내부에는 철심(강철막대)을 넣는다.

② File - New Activity 하여 프로그램을 초기화하고, 채널A 에는 전압센서, 채널B 에는 파워앰프를 다시 설정한다.

③ 전압센서 아이콘을 더블클릭하여 샘플링속도(Sample Rate)는 10,000Hz (다른 디폴트값은 그대로), 샘플링 옵션

- Automatic Stop 에서 Time은 0.02초로 설정한다.

④ 신호발생기의 출력 설정은 5.00V, 100Hz,

양의 구형파로 설정하고 "Auto" 값은 그대로 유지한다. (실험시작하면 자동으로 전원 입력되고 0.02초 동안 데이터 저장후 멈춤)

⑤ 인덕터 양단정압, 채널A 에 대한 그래프 윈도우를 띄우고 그래프 바탕화면을 더블클릭- Axis Setting- Time을 ms 로 선택한다. 인덕터, 저항의 양단저항을 멀티 테스터기로 정확하게 재서 기록해 둔다. 인덕터에 뜨는 저항 성분은 어떻게 고려 할것인가?

⑥ 시작

을 누르고 데이타 저장을 시작하면 0.02초 동안 데이타를 저장하고 자동으로 종료될 것이다. (샘플링 속도가 최대 20,000Hz 인 경우와 10,000Hz 일 경우의 초기 역기전력 값이 다른데 시상수는 똑같은 값이 나온다. 왜 그럴까? - 20,000Hz 이상의 경우 데이터 저장시 주의 메세지가 뜨긴 하지만 데이터 저장에 문제가 없다면 괜찮다. 아래 그래프는 실제 20,000Hz 에서의 데이터그래프)

2) 데이터분석
① 오토스케일(Autoscale)

을 누르고 그래프를 데이터량에 맞춘다. (☞ [그림8]은 실험에서 실제로 나타나는 곡선. 우측은 확대)

[그림8] 인덕터의 역기전력 작용 곡선

② 적당한 영역을 선택하여 화면상에 최대한 확대하고 스마트커서(Smart Cursor)

를 선택하여 커서를 최대전압 지점에 위치시키고 그때의 시간값(t₀)을 기록한다. (더욱 정확한 값을 보기 위해 데이타테이블을 이용하여 시간은 소수 6째 자리까지 찾을것을 권장!)

③ 스마트커서를 최대전압의 1/2 지점에 위치시키고 그때의 시간값(t_1/2')을 기록한다.

④ 두 시간 사이의 차이 t_1/2(=t_1/2'-t₀)를 구하고, L = R_T t_1/2/ln2 인 관계로 부터 인덕턴스 L 값을 구한다.

⑤ 유도시상수 τ는 DC 전압의 방향에 관계없이 일정한가? 전원 전압이 0 이 되는 순간 반전곡선 에서도 위와같이 계산하여 확인해보라.

⑥ 실험에서 구한 L 값을 인덕턴스 값과 비교하여 오차(%)를 계산해보라. (공칭 인덕턴스 값을 참값으로 사용하고 만약, LCR 메타가 있다면 인덕턴스 L 값을 측정하여 이 값에 대한 오차를 계산한다.)

⑦ 실험에서 얻은 데이터를 이용하여 RC 회로에서와 같은 방법으로 전압의 그래프를 합성해보고 키르히호프의 법칙이 만족하는가를 알아보자.

[참고] LC 진동

[그림9] 콘덴서 충전과 LC 진동곡선

우리가 쓰고 있는 실험장비를 이용하여 LC진동 양상을 관찰하려면 어떻게 해야할지 실험을 구상해 보자 (왼쪽 그림은 실제로 얻은 데이터그래프)

① 전압센서는 2만 샘플링으로 그래프를 띄우고 330㎌ 콘덴서를 DC10V로 충전(신호발생기 수동)하고 전원이 걸려있는 상태에서 코드를 분리하고 신호발생기 오프한다. (콘덴서는 충전상태) 오프하고 코드를 분리하는 것과 차이는?

② 데이터저장 시작하고 재빨리 LC직렬회로와 콘덴서 양단에 전압센서가 연결되도록 단자를 연결하고 데이터저장을 끝낸다. 그래프로부터 불필요한 영역을 지워서 진동그래프를 찾아낸다.
데이터를 이론치와 비교해보는 것도 흥미로운 일이다.

[Question]
(1) 인덕턴스 작용 곡선에서 DC 전압을 ON 하는 경우, [표2] 에서 보는 바와같이 t=0 일때 전압은 V₀= 5V 가 되어야 하는데 그렇지 않은 이유는 무엇일까? 또, DC전압을 OFF 하는 경우는?

(2) 이상적인 인덕터의 경우 즉, 인덕터의 내부저항이 "0" 에 가까와 질수록 [그림8]의 그래프는 어떻게 될 것인가?

(3) 인덕터에 철심(iron core)을 넣는 경우와 그렇지않은 경우 인덕턴스 L 값은 어떤 차이가 있겠는가?

5. 참 고

(1) RC 회로 / RL 회로 (pdf 파일)