연세대학교 물리학실험실(Yonsei Phylab)

Exp_Old. 관성모멘트와 각운동량 보존

1. 실험목적

회전 역학계에서 원반, 링, 막대 등의 회전에 의한 관성모멘트를 측정하여 관성모멘트 개념을 이해하고 각운동량의 보존 여부를 조사한다.

2. 이 론

(1) 관성모멘트

미식축구에서 쿼터백은 공을 더 멀리 던지기위해 타원형의 공이 장축을 중심으로 나선형으로 날아가도록 볼을 던진다. 빙판위의 피겨 스케이팅 선수는 회전속도를 증가시키기위해 바깥쪽으로 뻗어진 두팔을 몸 가까이로 오므린다. 이러한 두가지 현상에 있어서 관성모멘트는 중요한 역할을 한다.

물체의 관성모멘트는 질량과 질량의 공간적 분포에 의존한다. 일반적으로 물체가 더욱 밀집 될수록 관성모멘트는 작아진다.

[그림1] 물체의 관성모멘트
회전운동에서 여러 가지 물체에 대한 이론적인 관성모멘트 값은 [그림1]과 같다. (각자 유도해 보자) 물체의 관성모멘트를 측정하려면 어떻게 해야할지 생각해보자.

[그림2] 관성모멘트 측정장치 고안

원반의 회전운동에서 실험적인 값을 구하기 위해 [그림2]와 같이 장치를 고안해보자. 작용하는 토오크와 각 가속도가 측정되면 τ = Iα로 부터

I = τ/α ---------------(1)

여기서 α는 각 가속도이고 τ는 토오크이다. 원반의 중심으로부터 거리 r 되는 지점에 힘 F 가 가해질 때 토오크는 τ = r×F 이고 이 경우 작용한 힘은 도르래에 의해 연결된 줄에 작용하는 장력 T 와 같다.

줄은 매달린 질량 m 에 의해 당겨지고 r은 회전하는 원반의 중심에 고정 부착된 도르래(질량무시)의 반지름 이다. 반지름 r 은 작용하는 힘(장력) T 에 대해 수직이므로

τ = rT ---------------(2)

이고, 매달린 질량 m 에 대한 뉴튼의 제2법칙은

∑F = ma = mg-T---------------(3)
이므로 T= m(g-a) 이다. 이 식을 (2)에 대입하면

τ = rT = rm(g-a) ----------------(4)

매달린 질량의 직선가속도 a 는 회전계의 접선가속도 a_T 와 같고 각 가속도는 접선가속도와 다음과 같은 관계가 있다.

α = a_T/r -----------------(5)
식 (4),(5)를 (1)에 대입하면

I = τ/α= rm(g-a) / (a_T/r) = mr²(g/a-1) ----(6)
위와같이 물체의 관성모멘트 I 는 도르래를 통해 매달린 질량 m에 의해 회전계가 회전할때 접선가속도 a를 측정하므로써 구할수 있다.
또는 위의식 식(6)을 질량 m인 추가 정지상태에서 t초 동안 h 거리 만큼 떨어지면서 원판을 회전시킬 때 에너지 보존법칙의 관점에서도 유도해보자.

(2) 각운동량 보존

자유롭게 회전하는 물체에 토오크 τ가 가해질때, 물체의 각운동량은 변화한다. 디스크가 회전하고 있는 계에서 링을 살짝 올려 놓으면 계의 회전속도가 달라진다. 물론 계에 작용하는 외부 토오크는 없다.
여기서 I_d 는 디스크의 관성모멘트, I_r 는 링의 관성모멘트라고 하면 계의 총 각운동량은 보존되므로

L= I_i ω_i = I_f ω_f----------(7)
여기서, I_i = I_d , I_f = I_d + I_r 이므로 원판의 최종 각속도는

ω_f = (I_i/I_f)ω_i = [I_d/(I_d+I_r)] ω_i-----(8)
이 될것이다. 스마트풀리와 인터페이스를 이용하여 정밀하게 각속도의 변화를 관찰해 보자.

3. 실험기구 및 장치

(1) 컴퓨터 및 인터페이스 장치
(2) 관성 모멘트 측정장치 세트- 시료, 추걸이(10g), 추(2g,20g×5개), 실, 수평계 등
(3) 시료 3종
   ① 디스크 (797g, R=10cm, 중앙홈 r=0.238cm)
   ② 링 (366g, 내경 R₁=5cm, 외경 R₂=6cm)
   ③ 막대 (144g), 추 (160g) -질량에 다소 차이가 있을수 있음
(4) 스마트풀리(photogate + pulley; r=2.54cm)
(5) 버니어 캘리퍼스,
(6) 전자저울 (공용), 투명테이프(공용)

4. 실험방법

(1) 컴퓨터 셋업

[그림3] 센서의 셋업

① 컴퓨터가 외부장치를 인식하도록 인터페이스 전원을 켠 다음 컴퓨터를 켠다.

② 데이터스튜디오 프로그램을 실행하고 스마트풀리의 폰잭을 디지탈 채널1에 연결한 다음, [그림3]과 같이 디지탈 채널1 에 Smart Pulley 를 선택한다. 스마트풀리 아이콘을 더블클릭-Measurement 탭에서는 Velocity Ch1(m/s)만 선택, Constant 탭은 디폴트값(Spoke Arc length; 0.015m)을 그대로 쓴다. 이 값은 무엇을 의미하는가?

③ 다음 그래프 아이콘

을 스마트풀리 아이콘으로 끌어가서 속도-시간의 그래프를 띄운다.

(2) 관성모멘트 측정

1) 축 자체의 모멘트 측정

① 먼저 회전축 상의 3-스탭풀리의 직경 3개를 버니어캘리퍼스로 측정하여 반지름값을 기록해 놓는다.

② 스탭풀리 구멍에 실을 끼워 하단의 나사부분에 2~3번 감고(묶지 않고 편리하게 다시 풀어쓸수있다) 실의 한쪽 끝은 질량 2g을 매달아 스마트풀리에 걸어놓는다.(추에 실을 묶기가 어려우면 작은 투명테이프로 붙인다) -이때 장치의 측면과 상단에서 보았을때 실이 풀리에 일직선으로 걸리도록 수평을 잘 맞춘다.

③ 추가 거의 스마트풀리까지 올라오도록 스탭풀리에 실을 감고 정지상태를 유지한다.

④

버튼을 눌러 데이타 저장을 시작하고 동시에 회전체를 놓는다.

⑤ 추가 바닥에 거의 내려오기 전

버튼을 누른다.

⑥ 속도-시간의 그래프로부터 Curve Fit ⇒ Linear Fit 로부터 그래프의 최적곡선의 기울기(가속도)를 구하고 식(6)으로부터 자체 관성모멘트 I 를 계산한다.

⑦ 위의 과정을 여러번 되풀이하여 실험하고 잘나온 2개의 데이터 값을 정리한다.

2) 원반(Disk)

[그림4] 원반의 관성모멘트

① 측정할 원반의 반지름과 질량을 재어 데이터를 기록하고 원반을 밑의 홈에 잘 맞추어 회전축 위에 올려놓는다.

② 실끝에 약 50g의 질량을 매달고 추가 거의 스마트풀리까지 올라오도록 스탭풀리에 실을 감고 정지상태를 유지한다.

③

버튼을 눌러 데이타 저장을 시작하고 동시에 회전체를 놓는다.

④ 추가 바닥에 거의 내려왔을 때

버튼을 누른다.

⑤ 그래프로부터 위의 방법과 같이 접선가속도를 구하고 회전계의 관성모멘트를 계산한 다음, 축에 의한 값을 빼주면 원반의 관성모멘트값이 될 것이다.

⑥ 위의 과정을 5번정도 반복하여 실험하고 이론치와 비교하여 % 오차를 계산해 본다. 원반에 대한 관성모멘트(이론치)는 실제모양과 비교해 볼때 정확한 값인가? 실제 모양에 의한 모멘트값은 이론치 보다 크겠는가? 작겠는가? 토의해 보자.

3) 링(Ring)

① 링의 내경, 외경과 질량을 재어 데이터를 기록하고 원반위에 링을 올려놓는다.

② 위의 과정과 마찬가지로 실험을 반복하여 전체 관성모멘트 값을 측정한다. 링의 관성모멘트는 전체 값에서 원반및 축의 관성모멘트를 빼주면 될 것이다.

[Option] 원반, 링의 다양한 관성모멘트

원반이나 링의 측면에는 나사탭이 뚫려 있어 수직으로 세워 관성모멘트를 측정할수도 있다. 원반이나 링을 수직으로 세워 회전시키는 경우, 관성모멘트 공식을 유도해 보고 측정된 값과 일치하는지 실험 해보자.

(3) 각운동량 보존

[그림5] 각운동량의 변화 측정

① 실을 제거하고 스마트풀리를 원반의 측면에 살짝닿도록 설치한다. 프로그램 상단에서 File ⇒ New Activity 하여 장치를 초기화하고 다시 셋업한다.

② 우리는 여기서 스마트풀리를 이용하여 원반의 회전속도를 측정하기 위해 디지털채널1에 스마트풀리(Smart Pulley) 를 설치한 다음, 아이콘을 더블클릭-Constant 탭에서 Spoke Angle Spacing 대화상자가 뜨고 여기에 9.14°(deg) 값을 입력한다.

[참고]

필요하다면 시작, 종료조건을 줄수도 있다. 예를들어, 샘플링옵션 대화 상자에서 Delayed Start -Time 에서 2sec로 설정하면 REC 버튼을 누른후 2초후에 데이타 저장이 시작된다.

[참고]

원래 스마트풀리의 디폴트값은 36°(deg) -단위각(36° = 360°/10개 바퀴살)- 로 설정되어 있지만 원반과 도르래가 미끄러짐없이 돌아간다 가정하면 R =10cm, r = 2.54cm (R:디스크의 반지름, r:스마트풀리의 반지름) 이므로 직접 원반각속도의 그래프를 표시하기 위해 단위각을 환산해 준 것이다. 또는 단위각을 그대로 놔두고

를 사용하여 원반의 각속도를 별도로 정의하여 나타낼 수도 있다.

③ 마지막으로

그래프 아이콘을 스마트풀리로 끌어가서 각속도의 그래프를 띄운다.

④ 원반을 회전시켰을 때, 스마트풀리를 원반측면에 살짝 밀착시키면(무리한 힘을 가하지 말것!!) 원반과 같이 회전하여 원반의 회전속도를 직접 측정할 수 있을것이다.

[주의] 스마트풀리와 미끄러짐없이 회전시키기 위해 원반을 너무빨리 회전시키지 않는다.

⑤ 원반을 회전시키고 데이타 저장을 시작하면 그래프로 회전속도가 표시될 것이다.

⑥⑦ 이때, 2-3초 후 재빨리 링을 내려놓고 -회전하는 원반에 최대한 충격이 가해지지 않도록 1cm 정도의 높이에서 정확하게 홈위에 내려 놓는다- 그래프를 주시한다. 각속도에는 어떤 변화가 일어나는가?

를 이용하여 초기 각속도와 나중각속도를 각각 측정하고 이론치와 실제 각속도 사이의 오차(%)를 계산해 본다. 이러한 변화로부터 각운동량은 보존된다고 말할수 있는가?

[질문]

만약 원반과 링이 같이 회전하고있는 상태에서 링을 재빨리 들어낸다면 어떻게 될까? 이 경우도 각운동량은 보존 된다고 말할수 있는가? 링을 내려놓으면서 실험하는 경우와 어떤 차이가 있는가?

5. 참 고

(1) Rotational Inertia / Conservation of Angular Momentum (PDF 파일)

(2) 스마트풀리

(3) 각운동량 보존의 예