모든 물체와 물체 사이에는 서로 잡아당기는 힘이 작용한다. 이 힘을 만유인력(또는 중력)이라고 하며, 그 크기는 두 물체의 질량 m1 과 m2 에 비례하고, 물체간의 거리 R 의 제곱에 반비례한다. 이 관계를 수식으로 표현한
Fg = Gm1m2/r2
을 뉴턴의 중력의 법칙이라고 부르며, 비례상수 G 를 만유인력의(중력) 상수, m1 과 m2 를 각 물체의 (중력)질량이라고 한다.
한편, 질량이 Me 이고 반지름이 Re 인 지구 표면 근처에 있는(r ~ Re), 질량 m 인 물체가 받는 지구에 의한 중력은
F = GMem/Re2 = mg
라고 쓸 수 있다. 여기서 g 는 지표면 상의 물체가 받는 지구에 의한 중력 가속도로서
g = GMe/Re2 = 9.8 m/s2
이다.
이제, 중력의 법칙을 확인하고, 중력상수를 측정한 실험에 대해 살펴보기로 한다.
(1) 카벤디시 실험(Henry Cavendish, 1798) - 중력상수 G 의 측정 (g, Re)
캐번디시는 비틀림 저울을 사용하여 중력법칙의 (1/r2) 의존성을 확인하였고, 또 지구의 질량 Me 를 알아냄으로서 미리 알고 있었던 반지름 Re 와 함께 지구의 평균 밀도
de ≡ 3Me/4πRe3 ≒ 5.448±0.033 g/cm3
를 구하였다. (참고로 현재 알려진 지구의 평균 밀도는 de = 5.520 g/cm3 이다.)
비틀림 저울은 비틀림 줄의 탄성을 이용하는 것으로, 가는 금속선과 같은 줄은 비틀린 각도에 비례하여 복원 토오크(restoring torque)를 받는다. [그림3]과 같이 양끝에 질량 m 의 작은 구를 붙인 막대를 비틀림 줄에 매달고 질량 M 의 큰 구를 가까이 가져가면, 작고 큰 두 구 사이의 중력에 의해 서로 끌려서 비틀림이 생긴다.
[그림3] 카벤디쉬의 중력상수 측정실험 |
이때 비틀리는 정도는 중력에 의한 토오크와 되돌이 토오크가 서로 상쇄되는 각도 θ 까지 비틀린다. 비틀림 저울을 사용한 측정에서는 비틀린 각도를 측정함으로써 되돌이 토오크를 알 수 있고, 이로부터 중력의 크기를 알아낸다. 캐번디시가 사용한 비틀림 저울의 크기는 다음과 같다.
[비틀림 저울(torsion balance)]
M = 168.2kg (지름 12"의 납공)
m = 0.779kg (지름 2"의 납공)
R = 1.8m (6') |
[되돌이 토오크(restoring torque)]
τ= FgR = μΘ (μ:비틀림 상수, Θ:비틀림각) |
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캐번디시가 사용한 저울의 크기는 실험실에서 일반적으로 사용하기에는 불편한 크기이다. 더욱 정밀한 비틀림 각의 측정이 이루어지면서 소규모 장치의 사용도 가능해졌다.
한 예로 M = 12.7 kg, m = 9.85 g, 막대의 길이 2R = 52.4 cm, 추 사이의 거리 r = 10.8 cm
비틀림 상수 μ= 8.3 × 10-8 Nm/rad 인 저울을 사용하면 비틀림각은 θ = 0.258o = 4.5 mrad 이다.
또, 비틀림 저울을 흔들이로 사용한 것을 비틀림 진자(torsional pendulum)라고 하는데, 각도 θ 만큼 틀어진 진자의 복원 토오크는
τ= -μθ = Id2θ/dt2 = 2mR2d2θ/dt2 [I: 관성모멘트]
이므로
d2θ/dt2 + (μ/2mR2) θ = 0
가 되어, 비틀림 저울을 약간 비틀었다가 놓으면 비틀림 각은
θ(t) = θ(0) cosωt
의 진동(oscillation)을 하게 된다. 이 진동의 각속도는
ω = (μ/2mR2)½
로서, 진동의 주기로 나타내면
T = 2π/ω = 2π(2mR2/μ)½
로 되어, 주기 T 를 측정하여 비틀림 상수 μ 를 알아낸다.
위의 소규모 비틀림 저울의 경우를 예로 들면
T = 6.28×{2×9.85×10-3 kg×(0.262 m)2÷(8.3×10-8 Nm/rad)}½ ≒ 801.3 s이 된다.
[문] 윗 그림에서와 같이 큰 질량 M 의 구를 거리 d 떨어진 곳으로 가까이 가져가면 이 비틀림 진자의 주기는 어떻게 변할까?
개략적(정성적)으로는 쉽게 알아낼 수 있다. 즉, 질량 M 의 큰 구에 의한 중력이 비틀림 진자의 복원 토크를(약간) 줄여주기 때문에 마치 비틀림 상수 μ를 줄이는 효과가 있고, 따라서 주기 T 가 늘어나는 것을 알 수 있다. 더 정확하게(정량적)는 비틀림 진자의 주기의 증가량이
△T ≒ T(GMmR2/μd3)
이 되어, 위에서 예로 들은 비틀림 저울의 경우에는 △T = 8.8 s 임을 알 수 있다. 즉, 비틀림 진자의 주기의 변화를 측정하여서도 중력법칙을 확인할 수도 있다.
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일반물리실험1
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