일반물리실험1

일반물리실험2
 
1-2. 원운동과 구심력
(Last Updated 2010/3/29)

1. 실험목적


물체가 일정한 반경의 원궤도를 따라 일정한 속도로 회전할때 구심력을 측정하고 이론치와 일치하는가를 알아본다. 또, 각각의 양들을 변화시켜가며 구심력을 측정해보고 관계식을 유도해본다.

2. 이 론

일정한 속력 v로 원궤도를 도는 물체는 등속원운동(uniform circular motion)을 한다고 말한다.
속력은 변하지 않지만 물체는 가속운동을 하고 있다. 이 사실은 속력이 증가하거나 감소한다는 '가속' 이라는 우리의 일상적인 관념 때문에 놀랄만한 것이다. 그러나, 실제로 v 는 벡터이지 스칼라가 아니다. 만약, v 가 방향만 바뀔지라도 그것은 일종의 가속운동이고 등속원운동에서 일어나는 현상과 같다.

[그림1] 등속 원운동하는 물체
[그림1]과 같이 물체가 속도 v, 반지름 r 로 등속원운동을 할 때, 물체의 가속도(크기와 방향)를 구해보자.
y축에 대해 대칭으로 두점 p,q 에 대한 속도벡터를 그리면 각각의 성분은 다음과 같이 표시할 수 있다.

v
px = v cosθ,  vpy = v sinθ
vqx = v cosθ,  vqy = -v sinθ

물체가 일정한 속력 v로 점 p에서 q까지 움직일때, 걸리는 시간(Δt)은

Δt = arc(pq)/v = r(2θ)/v
 
[그림2] 물체의 순간속도와 가속도

 
[그림3] 물체의 원운동과 구심력
그러므로 각각의 성분에 대한 평균가속도는

<a>x = (vqx -vpx )/ Δt = 0,
<a>y = (vqy -vpy )/ Δt = -2v sinθ / Δt
     = -2v sinθ / (r2θ/v) = -(v2/r)(sinθ/θ)

이된다. 여기서 물체의 미소한 변화 (각도 θ→0 인 경우; 점 p, q가 P 점에 접근)에 대한
순간 가속도 점 P 에서 원의 중심(O)을 향하고, sinθ/θ=1 이므로 가속도의 크기는

a = v2/r (구심가속도; Centripetal acceleration)


임을 알 수 있다. 일정한 속력으로 가속운동을 하는 동안 원주 둘레를 도는 물체의 주기는

T = 2πr /v
이 될 것이다. 구심가속도는 물체에서 원의 중심방향으로 작용하는 구심력에 기인한다. 이 힘의 크기  F 는 뉴튼의 제2법칙에 의해

F = ma = mv
2/r  (구심력; Centripetal Force)

이다. 만약, 이 힘이 존재하지 않는다면 물체는 등속원운동을 하지 않을 것이다. 구심가속도와 구심력은 벡터량이고 크기는 일정하지만, 방향은 항상 원의 중심을 향하고 수시로 변한다.

 
우리가 원운동에 대하여 흔희 가질 수 있는 그릇된 개념은 원심력(遠心力; centrifugal force)의 존재에 관한 것이다. 줄에 달린 공을 돌리면 손은 공에의한 바깥방향의 힘을 느낀다.

그러나, 이 힘은 손이 공에 작용하는 구심력에 대한 반작용일 뿐이며 공에 작용하는 힘이 아니다. 실제로 공을 바깥 방향으로 가속시키는 힘, 즉 원심력은 존재하지 않는다. 이와같은 사실은 줄이 끊어질때 공의 날아가는 방향으로부터도 쉽게 알 수 있다. 줄이 끊어지면 공은 속간속도의 방향(접선방향)으로 날아갈 것이다.

과거 우리는 이 실험을 -실험장치를 어떻게 구성하느냐에 따라 다소 차이가 있겠으나- 고정점 주위로 질량이 회전할 때, 대체로 구심력은 스프링의 늘어난 길이나 질량의 무게로부터 구하고, 회전주기를 초시계로 측정하여 속도를 계산하였다. 그러나, 물체를 일정한 속도로 회전시키는 것도 문제지만 시각에 의존하여 회전수(예; 10 회전수 측정)를 초시계로 재는 것은 부정확할 뿐만아니라 실행하기가 번거로웠다.
 

우리는 이 실험에서 회전대 하단에 설치된 직류모터를 이용하여 물체를 일정하게 회전시키고(모터에 가해지는 전압을 변화시키면 회전속도를 바꾸어 줄 수 있다), 회전하는 물체의 속도는 포토게이트를 사용, 구심력은 힘 센서를 사용하여 측정하고 PC 인터페이스를 통해 모니터링 함으로서 좀 더 정확하고 직관적인 구심력 측정 실험을 수행할 것이다.
회전대 아암(arm) 부분에 구멍난 긴 홈을 따라 질량이 구속되어 움직이면 물체의 회전반경이 변화될 수 있고, 측정이 편리하도록 아암의 양 측면에는 눈금자가 표시되어 있다.

3. 실험기구 및 장치

(1) PC 및 인터페이스박스
(2) 파워앰프(Power Amplifier)
(3) A 베이스 및 지지막대(60cm)
(4) 상단 지지막대(30cm), 멀티클램프
(5)
힘센서(Force Sensor)

(6) 포토게이트, ㄷ클램프
(7) 회전대(DC모터; Max DC12V, 750rpm)
(8) 질량(10gx2개, 20gx4개, 50gx2개)
(9) 수평계
(10)기름(WD-40;공용)


4. 실험방법(권장)

[그림4] 구심력 장치의 셋업

[그림5] 센서의 셋업

[그림6] 유동질량측의 철사고정 및 홀더



[그림7] 구심력장치 측면

(1) [그림4, 7]과 같이 장치를 구성한다.  회전대를 A베이스의 중앙에 고정(단자가 바깥쪽으로 향해야함, 회전중에 움직이지 않도록 단단히 고정)하고 한쪽 끝에는 지지막대(60cm)를 세우고 하단에 [그림7]과 같이 ㄷ클램프를 끼우고 포토게이트를 설치하되, 회전대가 돌아갈 때 회전대 하단 한쪽에 설치된 블록(고정질량 하단 원형막대)이 포토게이트의 센서에 걸리도록 고정한다.

(2) 멀티클램프와 짧은 막대를 이용하여 힘센서를 상단에 고정하고 [그림6]과 같이 유동질량에 철사를 걸고 중앙 도르래를 지나 힘센서 하단의 회전고리에 걸어준다.  (1)~(2) 과정의 설치는 이미 되어있을 수 있다.

(3) 원형 수준기를 회전대 위에 올려놓고 A베이스의 수평조절나사를 이용하여 회전대의 수평을 잘 조절해준다.

(4) [그림6,7]과 같이 한쪽에는 고정질량, 한쪽에는 유동질량 50g을 각각 설치하고 회전대의 중심으로부터 9cm 거리가 되도록 한다. 이때, 유동질량의 설치는 위치를 먼저잡은 상태에서 철사가 팽팽하게 수직이 되도록 힘센서의 위치를 잘 조절해주면 좀 더 설치가 용이할 것이다.
[참고]
고정질량은 회전대의 안정적 회전을위해 대칭거리에 고정되고, 유동질량은 철사로 도르래를 통해 힘센서에 연결되어 직선 홈내에서 부드럽게 움직여야만 한다. 만약 유동질량이 잘 움직이지 않으면 실험오차의 원인이 되므로 너무 꽉 조이지 않도록하고 실험실에 비치된 기름(WD-40)을 플라스틱링 하단에 뿌려준다.

(5) 힘센서의 딘플러그를 아나로그 채널A 에 연결하고 파워앰프는 채널B, 포토게이트는 디지탈 채널1 에 각각 연결해준다. 파워앰프의 출력단자와 회전대하단의 모터용 입력단자를 리드선으로 연결한다.

(6) 데이터스튜디오 프로그램을 실행하고 [그림5]와 같이 채널1에 포토게이트(Photogate), 채널A- 힘센서, 채널B- 파워앰프를 각각 설치한다.

(7) 신호발생기의 출력설정은 Auto, DC 3V로 잡고 하단의 출력전압 측정(Measure Output Voltage)은 체크를 없앤다.

[그림8] 포토게이트의 설정
(8) 힘(f)대 회전속도(v)를 그래프로 직접 표시하며 실험하기위해 셋업 윈도우에서 타이머 버튼 을 누르고 Label 에 Time between blocked 를 입력- Timing Sequence 에서 blocked 를 2번 선택하면 [그림8]과 같이된다. Done 버튼을 누르면 Data 영역(좌측상단)에 Time between blocked 가 표시된다.

(9) 속도를 정의해주기 위해 계산기아이콘 을 눌러서 Definition 란에 
Velocity = (2*pi*radius)/t 를 입력하고 Properties 를 누르고 [그림9] 우측과 같이 Velocity, V, m/s 등을 입력해준다. (다른 디폴트값들은 그대로)



[그림9] 계산기 윈도우의 활용

(10) 상수를 정의해주기 위해 +New를 누르고 radius, Value 값에는 0.09 (질량의 회전반경), Units에는 m 를 각각 입력하고 √ Accept 를 누른다.
다음, Variables 하단의
를 누르고 Experiment Constant => radius 를 선택하면 radius가 상수로 표시되고 t는 Data Measurement => Time between blocked 를 선택하면 [그림9]과 같이 된다. (이후 계산기윈도우는 닫아 놓아도 상관없다) 그럼 Data 영역에 Velocity 가 표시되고 속도 데이타를 바로 표시할 준비가 끝난 셈이다. (왜 회전속도를 이와같이 정의했을까?)

(11) 아이콘을 힘센서로 끌어가서 그래프를 띄우고, Data의 Velocity를 그래프윈도우의 x축(Time으로 되있음)으로 끌어다 놓으면 x축이 Velocity로 표시된다.

[참고] 힘센서가 밑으로 당겨지면 그래프의 y축이 -값을 표시하므로 편의상 +값으로 표시하기 위해 Force Sensor를 더블클릭-Calibration 탭에서 Hih Point의 Value 50 => -50, Low Point의 Value -50 => 50 으로 각각 바꿔줄 수 있다.

(12) 이제 실험준비가 다 되었다. 상단의 Start 버튼을 누르면 자동으로 회전대에 전원이 가해지고 장치는 회전하기 시작할 것이다. (주의: 회전대가 돌아갈 때 모든 코드선이 아암에 걸리지 않도록 주의하고 이상이 발생하면 실험을 즉시 멈춘다)


 [실험1] 구심력 대 속도

 :모터 입력 전압을 변화시키며 물체의 회전속도를 변화시킬때 구심력을 연속적으로 측정 (반지름r과 질량m은 고정)

(1) 위의 실험과정과 같이 m=50g, r= 9cm 으로 고정하고 f:v의 그래프윈도우를 띄운다음, 시작 버튼을 누른상태에서 신호발생기의 전압을
마우스로 클릭하며 변화시킬 수 있다. 약 3~4초 간격으로 전원을 3,4,5...8V 로 변화시켜가며 그래프를 관찰한다. 이때, 회전시작 1,2초 후 안정된 회전상태에서 제대로 된 f, v의 값이 디스플레이 될 것이다.

(2) 스마트커서 로 구심력, 회전속도의 값을 5개이상 읽어서 데이타를 적어보고 f:v2 의 그래프를 그려보자. f, v는 어떤 관계인가? 원한다면 데이터를 f_v.ds 등으로 저장하여 데이터를 가져갈 수 있다.

[질문] 어떤 모터나 회전장치가 있을 때 규격은 rpm(분당 회전수)으로 나타낸다. 이때 이 모터는 주어진 전압에 대해 일반적으로 일정한 값은 속도인가 각속도인가?


 [실험2] 구심력 대 질량

  : 물체의 질량을 변화시킬때 구심력의 변화를 측정(반지름r 과 속도 v는 고정)

(1) 회전반경 r=9cm, 신호발생기의 전압은 DC 10V 로 고정하고 질량을 10g, 20g, 30g, 40g, 50g 으로 변화시켜가며 스마트커서 를 이용하여 구심력을 측정하고 f, m 데이터를 기록한다.

(2) 실험이 끝나면 구심력 대 질량의 변화 그래프를 그린다. f:m 의 그래프는 어떠한가?

 [실험3] 구심력 대 반지름

  : 회전 반지름을 변화시킬때 구심력의 변화를 측정(각속도ω와 질량m은 고정)

(1) 질량은 50g, 신호발생기의 전압은 DC 10V 로 고정하고 회전 반지름을 5cm, 6cm, 7cm, 8cm, 9cm, 10cm 로 변화(고정질량의 위치도 유동질량과 대칭적으로 변화시킴)시켜가며 구심력을 측정한다.
 
[주의]
(1) 그래프에서 유동질량의 속도(v)대신 각속도(ω)를 표시하려면 계산기윈도우에서 어떻게 입력해 줘야할까?

(2) 계산기 윈도우의 실험상수(experiment constant) 입력란의 회전 반지름 값은 입력후 Accept를 눌러야 변경이 반영 되므로 주의한다.

(2) 회전하는 질량의 각속도를 실시간으로 관찰하기 위해 데이타스튜디오에서 디지털 디스플레이 로 표시하면 유용할 것이다. 이때, 회전상태가 안정된 1~2초 후의 디스플레이 값을 평균하여 적어준다.  이 경우 고정된 값으로 속도가 아닌 각속도로 잡았는데 왜 그럴까?

(3) 실험이 끝나면 구심력 대 반지름의 변화 그래프를 그린다. f:r 의 그래프는 어떠한가?

 5. 참 고

(1) Centripetal Force Apparatus (PDF 파일)

(2)
포토게이트 작동원리
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