연세대학교 물리학실험실(Yonsei Phylab)

1-3. 일과 에너지

(Last Updated 2016/2/29)

1. 실험목적

물체에 일정한 힘(또는 불규칙한 힘)을 가해서 일정한 지점까지 수행된 전체 일은 최종 지점에서의 물체의 운동에너지의 변화로 나타남을 이해한다. 또, 물체가 충돌할 때 계의 운동량은 보존되며 가해진 충격량은 운동량의 변화와 같음을 이해하고 실험적 관계식과 이론식이 일치하는가를 알아본다.

2. 이 론

[그림1] 물체에 가해진 일

외력에의해 물체에 가해진 총 일은 물체의 변위, 즉 위치변화에 관계되지만 물체의 속도변화에도 관계된다. 질량 m의 물체가 일정한 알짜힘(net force), F의 작용하에 [그림1]과 같이 x축을 따라 움직이는 경우를 생각해보자. 이 물체는 뉴튼의 제2법칙에의해 일정한 변위 s = x₂- x₁ 동안 v₁ 에서 v₂ 로 가속된다면 v₂² = v₁² + 2as , F = ma 관계식으로부터 물체에 가해진 일은

Fs = = 1/2 mv₂² - 1/2 mv₁²

으로 쓸 수 있다. 곱 Fs는 알짜힘, F에 의해 물체에 가해진 총 일이고 1/2 mv² 은 물체의 운동에너지, K 라고 정의하면 총 일, W 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

--------(2)

[그림2] 변화하는 힘이 한 일(ch6,192p)

즉, [그림2]와 같이 계에 가해진 총 일은 알짜힘대 위치의 그래프에서 곡선 하단의 면적으로서 결정될 수 있다.

[그림3] 장력이 한 일

이제 [그림3]과 같이 카트가 도르래를 통해 매달린 질량에의해 수평 트랙을 따라 줄로 당겨지는 경우를 생각해 보자.
카트는 장력, T에 의해 가속운동을 할 것이다. 카트는 변위Δx 를 이동하며 정지 상태로부터 최종속력 v_f 까지 증가 할 것이다.
마찰이 없다고 가정하면 줄의 장력은 카트를 가속시키는 알짜힘이고 카트에 가해진 일(W_cart)은 모두 카트의 운동에너지(ΔK_cart)로 변환되고 다음과 같다.

W_cart = T•Δx = ΔK _cart ---(3)

[그림4] 중력이 한 일

카트가 수평으로 움직이는 동안 매달린 질량은 수직으로 움직이므로 카트와 질량은 임의의 순간에 같은 속력, 같은 가속도, 같은 변위를 갖는다.
그러나, 매달린 질량은 (중력적) 위치에너지와 운동에너지를 모두 갖고 질량이 떨어지는 동안 장력과 중력이 모두 일하고 있음에 유의하자.

매달린 질량에 대해 중력이 한 일은

W_gravity = mg•Δx ---(4)

이고 이것은 감소한 위치에너지의 크기와 같다.

ΔU = -W_gravity ---(5)

[그림5] 복합계의 가속도

이 복합계(coupled system)는 질량, (M+m)의 한 물체가 힘, mg에 의해 직선운동으로 가속되어 가속도 a로 움직이는 경우로 단순화 할 수 있다. 계의 가속도를 구해보면, ∑F = (M+m)a, mg = (M+m)a, 즉,

a = m/(M+m) g

일-에너지 이론에 의해 이 복합계의 운동에너지 변화는 다음과 같다.

W_Total = -ΔU_hanger = ΔK_system--------(6)

이것은 역학적 에너지 보존법칙(The Law of Conservation of Mechanical Energy)을 나타낸다. (단, 힘의 손실이 없다고 가정) 즉, 어떤 계에서 위치에너지(Potential Energy)의 변화가 진행될 때, 운동에너지(Kinetin Energy)는 그에 대응하여 반대변화가 일어난다. 이 경우, 계의 한부분, 매달린 질량은 단지 수직으로 움직이며 (중력적)위치에너지가 변화하지만 계의 모든 부분에서 운동에너지 변화가 일어난다.

우리는 이 실험에서 직선트랙 위에 카트를 올려놓고 (카트에 힘센서를 고정) 한쪽 끝에는 도르래(회전센서 또는 도르래와 포토게이트)를 설치하여 카트와 행거를 실로 연결한 다음, 행거가 정지상태로부터 낙하할때 행거의 위치에너지가 계(카트와 행거)의 운동에너지로 전환되는 것을 관찰하고 일과 에너지 관계를 정량적으로 알아 볼 것이다.

3. 실험기구 및 장치

(1) 컴퓨터 및 인터페이스 장치
(2) 직선트랙(1.2m)
(3) 일차원운동 실험장치 세트

-카트(약 500g) 2개,
-자기범퍼(End Stop) 2개
-트랙마운트(Track Mount)
-홀더, 실달린 추걸이(5g), 질량(20gx3개)

(4) 수평계(Level, 막대형)
(5) 회전센서(RMS)
(6) 힘센서(Force Sensor)
(7) 전자저울(0.01g~2kg,공용)

[그림7] 일차원운동 실험 부품세트

4. 실험방법(권장)

[그림8] 일과에너지 실험장치

(1) [그림8]과 같이 먼저 직선트랙 하단에 수평발(Level Feet)을 설치하고(실험 편의상 뒤쪽으로 나사를 조여준다) 막대 수평계(level)를 올려놓고 수평발 하단의 나사를 이용하여 트랙의 수평을 잘 조정한다.

[수평조정 참고]
수평계 내의 3개의 기포가 정중앙에 오도록 해야하며 수평발 나사는 하단에서 위를 볼때 우측으로 돌리면 조여지므로 내려가고 좌로 돌리면 풀리면서 트랙을 올린다.

(2) 우측에 먼저 측면 홈을 이용하여 자기범퍼(End Stop; 자석을 내장, 반발력을 이용하여 카트가 스프링 없이도 부드럽게 튕겨 나갈 수 있음)를 끼워 고정하고 트랙마운트를 이용하여 회전센서(RMS)를 설치하고 인터페이스 채널1,2에 노랑,파랑 순서로 연결해준다. (1)~(2) 과정은 이미 되어있을 수 있음

[그림8-1] 카트에 힘센서 고정하는 방법

(3) [그림8-1]과 같이 카트 상단에 힘센서를 고정(홀더나사를 약간풀고 카트상단 홈에 끼워서 나사를 조여주면 막대가 고정됨)하고 전자저울(0.01~2kg; 실험실 앞쪽에 공용으로 비치)을 이용하여 카트와 힘센서의 질량을 측정하고 기록한다.
트랙위에 카트를 올려 놓았을때 정지상태에서 카트가 움직이면 다시 수평계와 수평발 나사를 이용하여 주의깊게 수평을 조정해 주어야 한다.

(4) 실(1m 정도 길이로 자름) 양쪽을 매듭을 만들어 한쪽은 힘센서의 고리에 걸고 한쪽은 추걸이에 연결, 회전센서의 큰 도르래에 매달았을때 실이 트랙에 수평이 되도록 회전센서의 위치를 잘 조정한다.

[그림9] 센서의 셋업

(5) 데이터스튜디오 프로그램을 실행하고 채널1에는 회전센서(RMS; Rotary Motion Sensor), 채널A 에는 힘센서를 각각 설치해 주면 [그림9]와 같이 된다.

(6) 회전센서 설정: 회전센서 아이콘을 더블클릭, General 탭의 Sample Rate은 50Hz, Measurement 탭은 위치,(Position, m)와 속력(velocity, m/s)를 선택, Rotary Motion Sensor탭의 Division/Rotation(1회전당 분해능)은 1440, Linear Calibration은 Large Pulley(Groove) 를 선택, 확인 한다.

(7) 힘센서 설정: 힘센서 아이콘을 더블클릭하여 샘플링 속도는 50Hz 정도로 설정하고 Calibration 탭에서 영점(Tare)버튼을 눌러주면 Current Reading이 0이 됨을 확인하고, 질량 45g(추걸이포함)을 직접 힘센서에 매달 경우 약 0.44(N)을 표시하며 정상 작동하는가를 확인한다. 또, High Value +50을 -50으로 Low Value -50을 +50으로 바꾸고 확인을 눌러주면힘센서가 당겨질 때 + 로 표시되어 그래프에 나타나므로 편리할 것이다.

[계산기 윈도우의 활용]

* 물론, 카트의 위치와 속도, 줄의 장력 데이터 등, 필요한 것만 측정하여 실험을 수행할 수 도 있겠으나 계산식을 정의해주면 운동에너지나 위치에너지 등, 단순 반복 계산들도 아예 실험을 수행하며 바로 환산, 그래프로 표시할 수 있다.

①

계산기 버튼을 클릭하여 아래와 같이 입력하면 카트의 운동에너지를 그래프로 바로 표시할 수 있다.

[그림10] 계산기의 활용(카트의 운동에너지,K_cart 정의)

[계산기 설정 참고]
중력이 한 일, W_gravity	행거의 운동에너지, K_hanger

② 입력이 모두 끝난 후에는 반드시 Accept 버튼을 눌러주고 윈도우를 닫으면 Data 섹션(좌측상단)에 계산식이 나타남을 볼 수 있다. (프로그램 사용법에 대해서 미리 익혀두도록 한다)

③ 다른 계산식을 입력하고 싶을 때 다시 'calculate' 버튼을 클릭하면 전에 입력한 식이 나타나는데 이 상태에서 반드시 +New 버튼을 클릭하고 새로 입력(안 누르고 새로운 식을 입력, Accept를 누르면 전에 입력한 식이 지워지므로 주의!)을 시작한다. (실험상수를 여러개 입력할 경우에도 상수이름 옆의 +New 버튼을 눌러주어야 함)

(8) 카트에 작용하는 힘과 움직인 거리를 그래프로 보기위해

그래프 아이콘을 힘센서 아이콘으로 끌어가서 그래프를 띄운다음, x축을 t 대신 poisition(m) 으로 바꿔주면(축이름에서 마우스를 클릭하면 여러 가지 변수 중 선택가능) [그림11]의 좌측과 같은 그래프윈도우가 만들어진다.

(9) 다시

그래프 아이콘을 회전센서 아이콘으로 끌어가서 그래프를 띄운다음, x축을 t 대신 Kcart 로 바꿔준다.(그림11의 우측 그래프 참조) 좌측하단에 Graph1, Graph2 등으로 나타나는 그래프 제목을 '카트에 한 일' '카트의 운동에너지' 등으로 적어주면 그래프를 편리하게 구분할 수 있다.

(10) 40g 질량을 추걸이에 매달고 추걸이가 최상단에 있을 때 실이 당겨지지 않은 상태에서 힘센서의 영점버튼을 다시한번 눌러주고카트를 놓음과 동시에 시작버튼

을 눌러 실험을 수행한다. (회전센서는 초기 (각)위치를 0 으로 인식하므로 카트가 이동한 거리를 쉽게 알 수 있다)

(11) 카트가 끝에서 부딪칠 때 데이터가 매우 지져분하므로([주의]우측 끝에서 카트가 바닥에 떨어지지 않도록한쪽에서 잡아준다) 데이터가 깨끗하게 나오지 않을 경우, 아래의 내용을 참고하여 실험을 반복, 수행하면 [그림11]과 같은 데이터를 얻을 수 있다.

[그림10-1] 자동정지 설정

[참고]
(1) 카트가 트랙 끝에 도착하는 대략의 위치를 보고 [그림10-1]과 같이 자동정지 옵션을 사용하면 편리할 것이다.

'Option' 버튼을 클릭하고 Automatic Stop 탭에서 Data 란을 선택하고 Position-Is Above를 선택, 0.5m 등으로 입력하면 카트가 0.5m를 진행한 후에 데이터 저장이 자동으로 정지된다.

(2) 데이터 저장시 Run#1, Run#2 등으로 나타나는 데이터 이름을 m_h=45g#1, m_h=65g#1 등으로 바꿔주어 데이터를 저장해가면 나중에 데이터를 분석할 때 행거질량이 얼마일 때의 실험값인지 쉽게 구분할 수 있어 매우 편리할 것이다.

[참고]
카트에 작용하는 힘의 그래프는 처음에 보면 지저분해 보이나 이는 힘 데이터의 변화를 자세히 보여주려고 확대(디폴트값)해서 보여주는 스케일의 문제이므로 마우스를 이용하여 y축 범위를 크게잡고 적당히 이동해주면 [그림11]과 같이 된다. 힘의 평균값은 그래프 상단 박스에 나타나는 Mean값, 소수2째 자리까지만 사용하면 된다.(힘센서는 0.03N 단위로 측정하므로 소수 3째 자리값은 의미가 없다)

[그림11] 카트의 위치에 따른 힘과 운동에너지의 변화

(12) 카트에 작용한 힘의 평균값, <F>를 기록하고 움직인 거리를 임의로 정하여 그 지점까지 가해진 일과 그 지점에서의 운동에너지 등을

스마트 커서를 이용하여 측정(그래프는 최대로 확대하여 읽는 것이 유리)하고 소수 3째자리까지 데이터를 기록한다.

[그림12] 중력이 한 일과 행거의 운동에너지

[참고]

(1) 스마트커서를 이용할 경우, 커서로 그래프를 따라갈 때 얻어진 데이터 값에 자석처럼 붙어서 중간 값을 읽기 어렵다. [그림11]의 우측 그림과 같이 0.40m 위치에서 운동에너지 값을 읽고 싶을 때, 다른 지점에서 배경의 격자선과 스마트커서의 점선이 만나는 y좌표를 읽으면 편리할 것이다. 실험을 통해 얻어진 데이터 점들 사이의 비례식을 통해 계산해도 되겠지만 스마트커서는 이미 자동으로 비례식을 계산하여 그 값을 보여주고 있다.

(2) 그래프 데이터가 표시되지 않을경우: 예를들어 0.5m 이상을 움직였는데 끝지점이 그래프에 나타나지 않을 경우 x,y 축을 바꿔보면 나타나는 경우가 있다. 약간의 프로그램 버그로 사료됨.

(13) 측정된 값으로 부터 데이터를 정리하고 오차(%)를 계산하여 적어 내려간다. 일-에너지 이론의 실험적 증명은 이론과 잘 일치하는가? 만약, 오차가 많이 난다면 구해진 데이터로 부터 카트에 작용하는 마찰력을 구해보고 마찰력에 의한 일을 계산해보자. 행거의 운동에너지에 비해 마찰일의 크기는 얼마나 큰가? 계의 에너지 손실은 어떠한 요인을 찾을 수 있을까? 질량 60g을 추걸이에 걸고 앞의 실험 과정을 반복하여 데이터를 구하고 기록해보자.

[데이터 정리]

1. 일과 에너지

	카트의 질량(카트+힘센서)) M_cart(kg)	행거 질량 m_hanger(kg)
1
2

1) 일-에너지 이론 (The Work Energy Theorem)

-장력 F에 의해 카트가 움직일 때, 위치에 따른 힘과 운동에너지의 변화

① W_cart: F-x 그래프 ② K_c- x 또는 x-v 그래프 (2개의 그래프를 붙일것)

	카트에 가해진 일(N·m) (곡선 하단의 면적), W_c = <F>·x	운동에너지 변화(N·m), ΔK_c= 1/2 M_cv²	오차(%)
1
2

2) 역학적 에너지 보존 (The Law of Conservation of Mechanical Energy)

-행거에 대한 ΔK_h- x 또는 행거의 x-v (그래프를 붙일것)

	중력에 의한 일(Nm) W_g = m_hgx (=ΔU_hanger)	계의 운동에너지 변화(Nm), ΔK_T=ΔK_c+ΔK_h	오차(%)	에너지 손실 ε = W_g-ΔK_T
1
2

3) 행거의 에너지 관찰

① 이론에 의하면 행거의 운동에너지 변화는 행거에 대한 전체 일이 되어야 할 것이다. 그러나 행거의 위치에너지 변화는 행거의 운동에너지 변화와 같지 않다.
앞의 실험결과 각각의 경우에 대해 장력에 의한 일을 계산해 보고 각각의 경우에 줄의 장력을 계산해보자. 계산된 값은 카트상의 힘센서에 의해 측정되는 평균 장력과 같은가?

	행거에 가해진 일, W_Th = ΔK_hanger	중력에 의한 일, W_g = m_hgx	장력에 의한 일 W_Tension= W_g-W_Th	행거에 작용하는 장력, T (W_g-W_Th)/x	오차(%) <F>와의 오차
1
2

② 행거의 수직운동에서 장력에 의한 일은 + 인가, -인가? 그이유는? 계의 전반적인 운동양상과 에너지 변화를 설명해보자.

5. 참 고

(1) Work and Energy (PDF 파일)
(2) 회전센서(RMS) / 힘센서(Force Sensor)