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1-4. 운동량과 충격량
(Last Updated 2016/2/29)
1. 실험목적
물체가 충돌할 때 계의 운동량은 보존되며 가해진 충격량은 운동량의 변화와 같음을 이해하고 실험적 관계식과 이론식이 일치하는가를 알아본다.
2. 이 론
우리는 운동량과 충격량이라는 두가지 새로운 개념과 운동량 보존이라는 새로운 보존법칙을 이용할 것이다. 운동량 보존법칙은 에너지 보존법칙만큼 중요한 법칙이다. 광속에 가깝게 빠른 속도로 운동하는 물체나 원자의 구성요소같이 매우 작은 크기의 물체처럼 뉴턴의 법칙이 적절하지 못한 경우에도 운동량 보존법칙은 유효하다. 또한 뉴튼 역학체계 안에서 운동량 보존은 뉴튼법칙을 직접적으로 적용하기 힘든 경우에도 운동상황을 효과적으로 분석할 수 있게 해준다. 뉴튼의 제2법칙, ∑F = ma 를 다른 형태로 고쳐보면
∑F = m(dv/dt) = d(mv) /dt = dp/dt ------(1)
여기서 질량 m은 상수이므로 미분기호 속으로 들어갈 수 있고 mv 를 그 입자의 운동량 또는 선 운동량이라 부르고 p = mv 로 나타낸다.
물체의 운동량, p = mv 와 운동에너지, K = 1/2 mv2 은 물체의 질량과 속도에 의존한다. 두 물리량의 근본적인 차이는 무엇일까? 순전히 수학적으로 말한다면 운동량은 크기가 속도에 비례하는 벡터이고 운동에너지는 속력의 제곱에 비례하는 스칼라 이다. 그러나, 운동량과 운동에너지의 물리적인 차이를 알기위해 우리는 운동량에 밀접히 관련된 충격량을 먼저 정의해야만 한다.
어떤 물체가 t1 부터 t2 까지 Δt 시간간격 동안 일정한 총힘 ∑F 가 작용되었다면 충격량은 총힘과 시간간격의 곱으로 나타내고 J 로 표시한다.
J = ∑F (t2 - t1) = ∑FΔt ---------(2)
(1)식 으로부터 dp/dt 는 총운동량 변화량 p2 - p1 를 시간간격 t2 - t1 으로 나눈 것과 같기 때문에 ∑F = (p2 - p1) / (t2 - t1) 이고 이식을 변형하면 ∑F (t2 - t1) = p2 - p1 이된다. 이 식을 위의 (2)식과 비교하면
이 되며 이를 충격량-운동량 정리(Impulse-Momentum Theorem)라고 한다. 즉, 한 물체에 주어진 시간동안 생긴 운동량 변화는 물체에 작용한 총 힘의 충격량과 같다.
충격량은 ∑F 와 방향이 같은 벡터량이며 SI 단위는 newton-second (N·s) 이다. 충격량-운동량 정리는 힘이 일정하지 않은 경우에도 적용되는데 뉴턴의 제2법칙, 위의 (1)식을 시간에 대해 적분해보면 확인할 수 있다.
  --------(4)
 [그림1] 충격량 (Ch8. Univ. Physics. by Young)
[그림1]의 (b)에서 보는 바와같이 일정한 운동량을 가진 물체가 충돌할 경우, 딱딱한 충돌(hard collision)이나 부드러운 충돌(cushioned collision)에 관계없이 똑같은 충격량을 가짐을 보여준다.(곡선 하단의 면적은 같다) 딱딱한 충돌은 짧은 시간에 큰 힘을, 부드러운 충돌은 비교적 긴 시간에 작은힘이 물체에 작은 힘이 가해짐을 알 수 있다. 자동차 사고가 날 경우, 운전자가 핸들에 부딪치든 계기판에 부딪치든 똑같은 충격량을 받지만 에어백은 충돌시간을 늘림으로서 해로운 힘을 줄여준다.
[실험참조]
우리는 이 실험에서 좌측 끝에 모션센서(카트의 움직임 측정)를 설치한 다음, 우측끝에 힘센서를 고정하여 카트가 힘센서 부딪쳐 반사될때 받는 충격량과 카트의 운동량 변화를, 그리고 일정한 운동량을 가진 물체가 탄성이 다른 물체에 부딪칠 때 충격량을 비교 측정할 것이다.
실험에 사용되는 힘센서는 0.03N(3.1g)의 분해능으로 줄의 당겨지는 힘(줄의 장력, T)또는 부딪치는 힘을 고속으로 측정할 수 있으며 회전센서는 카트의 움직인 거리를 0.055mm단위(1440모드; 회전을 직선거리로 환산)로 측정가능하고 모션센서는 트랙상의 카트 까지의 거리를 최소15cm~최대2m 범위(narrow모드; 좁은범위각에서 초음파작동)에서 고속으로 측정할 수 있으므로 우리는 정밀하게 실험을 수행할 수 있다. |
3. 실험기구 및 장치
(1) 컴퓨터 및 인터페이스 장치
(2) 직선트랙(1.2m)
(3) 일차원운동 실험장치 세트
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-카트(약 500g) 2개,
-자기범퍼(End Stop) 2개
-브라켓(Photogate Bracket) 2개
-트랙마운트(Track Mount)
-충돌용(범퍼) 스프링 2종
-힘센서고정용 나사(긴것) |
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[그림2] 일차원운동 실험 부품세트 |
4. 실험방법(권장)
A. 충격량-운동량 정리
 [그림3] 충격량과 운동량
[그림4] 센서의 셋업 |
(2) 우측 끝에는 [그림3]과 같이 힘센서의 고리나사를 빼고 범퍼 스프링을 끼운 다음, 채널A에 연결해준다. 엔드스톱(자기범퍼)을 트랙끝에 고정하고 엔드스톱 중앙홀에 긴나사를 끼워 힘센서를 고정한다.
(3) 데이터스튜디오 프로그램에서 File-New하여 채널1,2에는 모션센서(Motion Sensor), 채널A 에는 힘센서를 각각 설치해 준다. [그림4] 참조
(4) 모션센서의 설정은 아이콘을 클릭하여 'Measurement' 탭에서는 '속도, velocity'를 'Motion Sensor' 탭에서는 '작동속도, Trigger Rate' 을 50hz 정도로 설정해 준다. 힘센서는 샘플링속도를 1000Hz 정도로 설정하고 나머지는 앞의 실험과 똑같은 상태를 유지한다. |
[그림5] 실제 측정된 데이터 |
(5)  그래프 아이콘을 힘센서 아이콘으로 끌어가서 그래프를 띄운다음, 좌상단의 Data 섹션에서 'velocity'아이콘을 그래프로 끌어다 놓으면 [그림5]와 같이 시간이 동기화된 두 개의 그래프를 볼 수 있어 충돌양상을 매우 직관적으로 이해할 수 있다.
[참고]
만약 2개의 그래프 시간이 동기화 되어 표시되지 않으면 바탕화면에서 마우스 우측버튼 클릭-Align을 선택해준다. 또 그래프가 겹쳐나오거나 할 경우 마우스 우측버튼 클릭=> setting =>Layout 탭에서 Layering에서 'Do Not Layer'를 선택해주면 된다. |
(6) 카트의 질량을 측정(발사장치가 없는 것 사용)하여 데이터를 기록해두고 트랙을 따라 우측으로 살짝 밀었을 때 힘센서의 범퍼스프링에 부드럽게 반사되어 돌아오는가를 확인한다.
(7) 이제 힘센서로부터 30~50cm 정도의 적당한 거리에서 시작버튼  을 누르고 카트를 우측으로 부드럽게 밀어준다. 이때 모션센서는 초음파를 이용하여 카트 뒤쪽에서 움직임을 측정하므로 손에의해 영향을 받지 않도록 카트의 위쪽을 잡고 밀어준다.
(8) 카트가 반사되면 정지  하여 데이터저장을 멈추고 선택확대 아이콘  을 이용하여 충돌이 일어난 부분의 그래프만을 확대한다.
(9) F-t 그래프에서  통계아이콘-Area를 선택하여 곡선하단의 면적을 구하고 충격량 데이터를 기록한다. 또, 속도변화 그래프에서  스마트 커서를 이용하여 충돌직전 속도와 충돌직후 속도를 측정하여 운동량의 변화를 계산하고 오차(%)를 계산한다. 카트가 물체에 미치는 충격량과 카트의 운동량변화는 어떠한가? 모션센서의 작동속도를 높여보고 위 실험을 3번 반복하여 데이터를 정리한다. (결과데이터에 그래프도 붙인다) |
B. 일정한 운동량을 가진 물체의 충격량
 [그림6] 충격량이 일정할 경우(충격시간 변화)
(1) 앞의 실험에서 사용된 모션센서를 제거하고 [그림6]과 같이 왼쪽끝에 자기범퍼(End Stop)을 설치하고 발사장치가 있는 카트를 끝에 놓고 발사버튼(Push Button)을 눌러서 우측 카트를 일정한 힘(속력)으로 밀 수 있도록 설치한다. 라운처(Launcher)는 약한 1단(라운처 막대의 홈이 위쪽으로 향하도록 하여 눌러주면 1, 2단 장전이 가능)으로 장전한다.
(2) 우측 끝에는 먼저 [그림6]과 같이 포토게이트 브라켓을 이용하여 포토게이트를 설치하고 채널1에 연결해준다.
[참고]
물론, 힘센서 만을 설치하여 실험으로부터 충격량 그래프를 얻을 수 있겠으나 포토게이트를 이용하여 충돌바로 직전(카트가 포토게이트를 가리는 순간), 데이터 저장을 시작하고 충돌 후(카트가 포토게이트를 빠져나가는 순간) 데이터저장을 끝내도록 설정하면 매우 효과적일 것이다. 또한 서로 다른 스프링에 대해 매우짧은 충격시간 동안 시간을 동기화하여 데이터를 얻고 그래프를 비교할 수 있어 매우 편리하다. |
(3) 다음, 트랙마운트(또는 엔드스톱을 고정하고 엔드스톱 중앙홀에 긴나사를 끼워 힘센서를 눕혀서 고정한다.)를 이용하여 힘센서를 고정하고 힘센서 앞은 고리나사를 빼고 범퍼 스프링을 끼운다.
(4) 카트를 힘센서 쪽으로 움직여서 스프링에 닿기전, 카트가 포토게이트를 가려서 포토게이트가 잘 동작(상단에 빨간불이 켜짐)하는가를 확인하고 동작되지 않는다면 포토게이트의 위치를 잘 조정해준다.
[그림7] 센서의 셋업 |
(5) 데이터스튜디오 프로그램에서 File-New하여 [그림7] 과 같이 채널1에는 포토게이트(Pfotogate), 채널A 에는 힘센서를 각각 설치해 준다.
(6) 포토게이트 설정은 아이콘을 클릭하여 'Measurement' 탭에서는 'State. Ch1(V)' 을 선택하고 힘센서 샘플링속도는 1000Hz로 앞의 실험과 같은 설정상태를 유지한다. |
(7)  'Option' 버튼을 클릭하고 [그림18]과 같이 'Delayed Start' 탭에서 Data Mea.를 선택- 'State, Ch1(V)', 'Is Below' 선택, 3V (0~5V 사이값 아무거나)를 입력한다. 'Automatic Stop' 탭에서도 Data Mea.를 선택- 'State, Ch1(V)', 'Is Above' 선택, 3V를 입력한다.
 [그림8] 샘플링옵션의 활용(시작,종료 조건)
[참고]
포토게이트는 가려지지 않으면 5V, 가려지면 0V를 나타내므로 시작조건은 카트에의해 가려지면(3V 밑의 값) 데이터 저장을 시작하고 빠져나가면(2V 위의 값) 데이터저장을 종료한다는 의미이다. |
(8) 그래프 아이콘을 힘센서 아이콘으로 끌어가서 그래프를 띄운다음, 힘센서의 영점버튼은 누르고 시작버튼을 누른다음, 발사버튼을 눌러서 카트를 힘센서 측으로 밀어낸다. 이때 트랙이 충격에의해 흔들리지 않도록 잡아주고 카트가 바닥에 떨어지지 않도록 주의한다.
[그림9] 실제 측정된 데이터 |
(9) 데이터 그래프가 잘 나타나는가를 확인하고 F-t 그래프에서 통계아이콘-Area를 선택하여 곡선하단의 면적(충격량 데이터)을 구한다. 데이터가 깨끗하지 않을 경우 삭제하고 위의 과정을 반복하여 잘 나온 그래프를 얻도록 한다.
(10) 혼란을 피하기위해 디폴트 네임 'Run#1' 등의 데이터 이름을 '스프링 굵은것(또는 얇은것)#1' 등으로 구분하여 적고 저장한다. (데이터 섹션에서 ▼를 누르고 by Measurement => by name으로 바꾸면 Run#1, Run#2 단위로 볼 수 있다.)
(11) 범퍼 스프링을 다른 것으로 교체하고 위의 과정을 반복하여 Ft 그래프를 얻는다. 카트의 운동량이 일정할 경우, 범퍼스프링의 종류에 따라 충격시간에는 어떤 변화가 있는가? 두 종류의 충돌에 대한 그래프 하단의 면적, 즉 충격량을 구해서 기록하고 오차를 한다. 오차의 원인을 토의해 보고 좀 더 정확한 실험을 수행하기 위한 방법을 토론해보자.
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5. 참 고
(1) Collision-impulse & momentum (PDF 파일)
(2) 힘센서(Force Sensor) / 모션센서(Motion Sensor) / 포토게이트(Photogate)
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실험실소개
국제캠퍼스
일반물리실험1
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