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일반물리실험2
 
1-7. 단순조화운동과 강제진동
Last Updated 2005/4/4

1. 실험목적

스프링에 매달린 물체의 운동이 단순조화 운동임을 컴퓨터 인터페이스를 통해 확인하고 운동주기를 측정하여 이론값과 일치하는가를 확인한다. 또, 외부힘(일정한 진동수를 갖는)이 가해지는 강제진동의 경우, 스프링계의 고유진동수 근처에서 운동양상을 관찰하고 물리계의 고유진동수를 이해한다.


2. 원 리

평형상태를 갖는 모든 계는 작은 변화에 대하여 평형상태를 유지하려는 특성을 갖는다. 역학계에서의 되돌이 특성은 복원력(Restoring Force)으로 나타나고 특히 평형상태로 부터의 변화가 작을 때 복원력의 크기는 변화의 정도에 비례한다. 또, 역학계는 운동상태를 그대로 유지하려는 관성도 가지고 있다. 이 복원력과 관성이 함께 나타날때 계는 단순조화운동(Simple Harmonic Motion)을 하게된다. 용수철에 매달린 물체, LC 전기진동, 고체물질이나 분자내에서의 원자의 진동 등 많은 현상이 물리계에서 단순조화 운동으로 나타나기 때문에 단순조화운동은 매우 중요시되고 있다.

(1) 단순조화운동 (Simple Harmonic Motion)


먼저 중력하에서 용수철에 매달린 물체의 상하운동을 살펴본다. 중력가속도를 g, 용수철상수를 k, 물체의 질량을 M, 평형점으로부터 늘어난 길이를 x 라고 하면 용수철이 물체에 미치는 복원력은 -kx 이고, 물체에 가해진 알짜힘은

F = Mg - kx ------------ (1)

이고, 운동법칙으로부터

M d2x/dt2 = - k(x - Mg/k) ----- (2)

를 얻는다. 이 미분방정식의 일반해는

x = xmcos(ωt + φ) + Mg/k ---- (3)
로, 여기서 각속도 ω= (k/M)1/2 이고, 주기 T 와 진동수 f (=1/T)는

, ----- (4)

이다.
진동수 f 를 자연진동수(natural frequency), 또는 고유진동수라 한다.
진폭 xm 과 위상 φ는 초기조건(즉, t=0 에서의 늘어난 길이 x 와 속력 v)


x(t=0) = xm cosφ+ Mg/k ---- (5)

v(t=0) = xm ωsinφ--------- (6)

로 부터 정해진다. 질량이 진동함으로서 에너지는 운동에너지와 위치에너지 사이에서 연속적으로 바뀌며 변화할 것이다. 마찰을 무시할때 계의 총 에너지는 상수이다. 질량이 최고점에 있을때 중력적 위치에너지는 최대가 되고 최저점에 있을때 탄성 위치에너지는 최대가 될것이다.


[참고] 이상의 결과는 용수철의 질량을 무시하고 또, 용수철에 매달린 물체를 질점(입자)으로 간주할 경우에 적용된다. 그러나 용수철의 질량을 고려하면 위의 결과는 어떻게 달라질까?


질량이 m 인 균일한 용수철을 생각하면 질량 M 인 추를 수직으로 매달았을 때 용수철의 늘어난 길이는 위치에 따라 달라지고 y 지점에서 용수철에 작용하는 (하반부)질량 m'을 고려하면

L:m = L-y:m' 으로부터 m'=m(L-y)/L 이고,

x(y) = (g/k)[M + m(L-y)/L] ----- (7)

이다. 여기서 k, L, y 는 각각 중력이 없을때의 용수철상수, 용수철의 길이, 용수철을 매단 곳으로부터의 거리이다. (7)식을 변형하여 x(y)=Mg/k'(y) 으로 간주하면, 이 식은 마치 용수철의 질량이 없고 위치에 따라 용수철상수가 변하는 경우로 생각할 수 있다. 즉, 이 가상적인 용수철의 용수철상수는
k'(y) = kM/[M + m(L-y)/L] ------ (8)

라고 할 수 있다. 또, 이 용수철의 평균 용수철상수는

kAV = (1/L)∫0L k'(y)dy = (kM/L)∫0L dy/[M + m(L-y)/L]= k(M/m)ln(1 + m/M) ----(9)

이고, m << M 인 경우에는 윗식은 ( ln(1+x) = x-x2/2+x3/3-... 이므로)

kAV ≒ k[1 - m/(2M)] ------------ (10)

로 근사되고, 따라서 질량이 m 인 용수철에 수직으로 매달린 질량 M 인 추의 주기는

T ≒ 2π[(M + m/2)/k]1/2 -------------- (11a)

이 되어, 추의 질량 M 에의 의존도가 약간 달라짐을 알 수 있다.

[주: 더 정확한 계산을 하면

T ≒ 2π[(M + m/3)/k]1/2 -------------- (11b)

에 가까우며 실제 문제는 매우 복잡하다.
[참고: J.M.Nunes da Silva, Am.J.Phys. 62, 423 (1994)]

(2) 강제진동 (Driven Harmonic Motion)


앞의 단순조화운동과 같이 진동계를 진동시키면 계는 고유(자연)진동수(natural frequency)로 진동한다. 그러나, 이러한 계가 고유진동수로 진동하도록 놓아 두기보다 특정한 진동수로 진동하도록 외부힘을 가하는 경우를 생각해보자. 예를들어 왼쪽의 그림과 같이 용수철의 질량을 일정한 진동수 f 로 밀고 당길수있다.

계에 외력(Fext= F0cosωt)이 가해질때 진동의 양상은 달라지게되고 식(1)은 다음과 같이 표현할 수 있을 것이다.

F = Mg - kx + F0cosωt

M x" + kx = Mg + F0cosωt

M으로 나누고 ω0 = (k/M)1/2 라 놓고 식을 정리하면
x" + ω02x = g + (F0/M)cosωt -----(12)

질량이 정지상태에서 강제진동 한 경우, 즉, 초기조건(t=0 일때 x=x'=0) 하에 이 미분방정식을 풀면,(각자 유도해 보자) (상수 g/ω02 는 생략)

(1) ω≠ω0 일때

x(t) = Acos(ωt) + Bcos(ω0t) ------(13)

여기서, A = -1/(ω202) (F0/M), B = -Mg/k -A 이다.

(2) ω= ω0 일때


x(t) = -(Mg/k)cos(ω0t) + (F0/2ω0M) t sin(ω0t) --(14)

이 된다. (위의 식을 방정식에 대입해보면 해 임을 쉽게 알 수 있다)
즉, 외부힘의 구동 주파수(driving frequency)가 자연주파수와 거의 일치할때 질량의 위치-시간 의 그래프는 약간 어긋난 위상에서 음파의 간섭패턴과 비슷하고 이 현상을 맥놀이(beat)라 부른다.
이상적으로는 구동주파수가 자연주파수와 정확히 일치할때 계에 에너지는 흡수되는 방향으로만 흐르고 스프링-질량계의 진폭은 매우 크게 증폭될 것이다. 그러나 아무리 작더라도 마찰감쇠 성분이 고려된다면 미분방정식 (12)는 bx' 성분이 추가되어

x" + bx' + ω02 x = (F0/M)cosωt

의 형태가 될것이고 식(14)의 t sin(ω0t) 와 같은 해가 나오지 않는다. 이는 계에 무한히 많은 에너지가 흡수될수 없음을 의미한다.


음파는 유리잔의 벽을 진동 시킬수 있다. 만약 성악가의 노래가 정상파를 만들어내고 음파의 강도가 충분히 크다면 유리잔은 박살날 수 있다. 노래소리에 의해 유리잔이 깨지는 것은 실제로 일어나는 현상이다.
[참고]

유한한 크기의 계에서의 떨림현상은 계의 크기에 의해서 결정되는 특정한 진동수(자연진동수 또는 고유진동수)들을 갖는다. 이 진동수와 같은 시간변화를 갖는 자극을 계에 계속해서 가해주면 반복되는 자극에 대한 반응 즉, 떨림은 서로 공명되어 자극이 거듭될수록 크기가 커지게 된다.

실제로 계에서는 떨림의 크기가 커짐에 따라 손실(dissipation)도 커지기 때문에 떨림이 무한대가 되지않고 어떤 크기에서 평형을 이룬다. 또, 단순조화운동을 하는 계의 (고유)진동수와 같은 진동수로 반복되는 자극을 계에 가하면(강제진동) 단순조화운동의 크기가 커진다. 단순조화운동을 하는 두 계가 서로 결합되어 있을 때, 또는 한 계에 두가지 단순조화운동이 일어날 수 있을때 두 진동수가 같으면 한쪽의 계에서 다른쪽의 계로 에너지의 전달이 크게 일어난다. 이렇게 계의 떨림특성과 같은 진동수의 반복된 자극에 대해 선택적으로 강한 반응이 일어나는 것을 공명 이라고 한다.

이 공명현상은 그네를 탈 때를 생각하면 쉽게 이해할 수 있으며, 기체관속에서 소리의 공명, 성량이 큰 소프라노 가수의 노래소리에 의해 방안의 포도주잔이 깨어지는 현상 등에서도 찾을 수 있다. 또, 대부분의 악기들이 공명을 적극적으로 활용하고 있다. 역학적인 떨림이외에도 RLC 직류회로 에서의 전기적인 공명은 날카로운 진동수 의존특성 때문에 라디오나 텔레비젼 등에서 미약한 전기신호를 포착하는 용도에 널리 쓰인다. 이외에도 원자나 분자의 공명은 원자와 분자의 상태를 조사하는 중요한 도구가 된다.


3. 기구 및 장치

(1) 컴퓨터 및
인터페이스 장치
(2) 파워앰프(Power Amplifier)
(3) 모션센서(Motion Sensor)
(4) A 베이스, 지지막대(φ=12mm, 1.1m)
(5) 클램프, 막대 클램프
(6) 추걸이(약16.5g) 및 추(10g×3개, 20g×2개), 진동 추걸이(50g)
(7) 스프링(10cm)
(8) 파형 구동자(Wave Driver)
(9) 리드선 2개 (2m)


4. 실험방법

1) 장치의 셋업


[그림1] 센서의 셋업
(1) 인터페이스 전원을 켠 다음 컴퓨터를 켜고 데이터스튜디오 프로그램을 실행한다.

(2) 모션센서의 디지탈 잭 2개를 순서대로 노란색(pulse)은 채널 1에 검은색(echo)은 채널 2에 각각 연결(순서가 바뀌면 안됨)하고 프로그램에서도 모션센서 아이콘을 [그림1]과 같이 설치해준다.

[그림2] S.H.M 실험장치 구성

(3) 모션센서 아이콘을 더블클릭하여 Measirement 탭-position 만 선택, Motion sensor 탭- Trigger Rate(작동속도; 디폴트값 10Hz)는 그대로 놔둔다.

(4) A베이스에 지지막대(1.1m)를 세우고 상단에 멀티클램프를 이용하여 막대클램프를 [그림2] 우측과 같이 고정하고 끝에 스프링을 걸고 나사로 고정해준다.


2) 스프링 상수의 결정

먼저, 스프링의 한쪽 끝에 질량을 매달때 늘어난 길이를 측정하여 스프링 상수를 결정해보자.
질량의 변화에 따른 길이의 변화를 자로 잴수도 있겠지만 더욱 정밀한 자, 모션센서를 사용하여 수동 샘플링( =>Sampling Option-Manual Sampling탭; 직접 변화값(질량)을 입력해가며 그때그때의 측정값(거리)을 데이터로 저장)의 방법으로 실험을 진행해보자.


[그림3] 수동샘플링


[그림4] 데이터테이블 작성


버튼을 누루고 [그림3]와 같이 Name에는 "질량의 변화" Units에는 "g"를 쓰고- "확인" 한다. 좌하단 테이블아이콘을 좌상단의 질량의변화(g)로 끌고가서 테이블윈도우를 띄우고 다시 생성된 좌하단 Table1을 모션센서로 끌고가면 [그림4]와 같은 테이블이 준비된다.

② 지지막대와 클램프를 사용하여 스프링을 수직으로 자유롭게 움직일 수 있도록 매달고 스프링의 끝에 추걸이와 10g 을 매단다. (스프링이 약간 늘어난 상태로 시작한다.)

③ 모션센서(Dip 스위치는 wide)의 센서부분을 상향으로 맞추어 스프링에 수직하게 바닥에 놓고 스프링이 진동하지 않도록 정지시킨다.


[그림5] 직접변화량 입력

버튼을 누르면 버튼이 모양으로 바뀌고 모션센서의 거리측정값이 표시되는데 Keep를 누르면 좌측과같은 대화 상자가뜨고 여기에 10 을 입력하고 OK 한다.

⑤ 그러면 [그림4]의 데이터테이블 한줄이 작성되고 다음, 질량을 20g으로 변화시키고 평형상태를 유지한 다음 다시 Keep를 누르고 20을 입력한다.

⑥ 질량을 80g까지 증가시키며 위의 과정을 반복하고 최종적으로 끝낼 때는 을 클릭하여 데이타 저장을 끝낸다.

⑦ 다음, 아래와 같이 계산기 윈도우를 이용하여 힘에 따라 늘어난 거리의 그래프를 직접 표시해보자.




[그림6] 계산기윈도우의 활용

ⓐ 먼저 를 눌러서 계산기윈도우를 띄우고 위와같이 계산식 2개를 만들어보자.

ⓑ 질량(g)을 힘(N)으로 환산하기 위해 'F = 9.8*0.001*m' 을 입력하고 Properties를 눌러 F를 정의(F, 힘, N을입력)해주고 확인한다. Variables m도 Data Measurement => 질량의 변화를 선택해주면 그림과 같이 된다.

ⓒ Accept => New를 누른 다음, 늘어난 길이(m)를 직접표시하기 위해 "x = 0.778-xi" 와같이 입력한다. (여기서 0.778값 대신 질량을 늘리기전 각자 구한 초기거리 값을 입력) Properties를 눌러 x를 정의(x, 늘어난길이, m를입력)해주고 Variables란의 xi 도 Data Measurement => Position, Ch 1&2(m)를 선택해주면 그림과 같이 된다.(한번에 안되면 다시 반복)

⑧ 왼쪽상단(Data영역)에 계산식 F 와 m 이 각각 표시되어 나타날 것이다. 그래프 아이콘 을 F로 끌어가서 그래프윈도우를 띄운 다음, y축은 '힘 F(N)', x축은 '늘어난길이 x(m)'를 선택한다. Curve fit ⇒ Linear Fit을 이용하여 직선의 기울기로부터 스프링상수 k값을 구한다.
(다소 과정이 복잡해 보여도 위의방법을 잘 숙지하면 실험데이터를 다양한 방법으로 처리하는데 도움이 될 것이다)


3) 단순조화운동 (Simple Harmonic Motion)


[그림7] 장치 구성
앞의 실험파일을 적당한이름으로 저장하고 File-New Activity 하여 초기화하고 모션센서를 다시 설치한다. 표시된 모션센서 아이콘을 더블클릭하여 Measurement 탭에서는 Position만 선택하고 Motion Sensor탭의 작동속도(Trigger Rate)는 50Hz 정도로 설정한다. (Calibration은 건드리지 않도록 하고 필요하다면 작동속도를 바꾸어가며 샘플링하여도 무방하다)

[질문]
모션센서(초음파센서)의 작동속도란 무엇인가? 작동원리를 설명하여 보자.

② 그래프아이콘 을 모션센서로 끌어가서 Position x 대 시간의 그래프를 띄운다.

③ 추걸이대신 진동용 추걸이(50g; 밑이 평평한 것)를 매달고 추가 상하로 부드럽게 진동하도록 (좌우로 진동하지 않도록 주의!) 스프링을 늘려서 진동시킨다. (주의: 모션센서와 진동하는 추걸이 사이의 최소거리는 15cm 이상이 되도록 한다)

버튼을 클릭하여 데이터 저장을 시작한다. 진동하는 추걸이의 위치가 시간에 따라 그래프로 표시될 것이다. 그래프는 어떤 모양인가? (우리의 눈으로는 정확하게 확인 할수 없었던 운동 양상을 PC의 빠른 데이터 처리 속도로 그 진동 모양을 보여주는 것이다!)

⑤약 5~6개 정도의 주기가 나타나도록 데이터를 저장한 다음 한다.

[그림8] 단순 조화 운동
⑥ 그래프를 최대로 확대하고 오토스케일(Autoscale) =>스마트 커서(Smart Cursor) 를 선택하여 첫 번째 최대(또는 최소)값에 커서를 맞춰놓는다. 다시 마우스를 스마트커서 근처로가져가면 델타값을 표시해주는 모양으로 바뀌는데 이것을 끌어서 인근 최대값에 갖다놓으면 시간간격을 볼 수 있다. 2개의 커서를 교대로 우측으로 이동해가며 주기값를 5개정도 읽고 데이터를 기록한다.

⑦ 평균 진동주기(T')를 구한 다음, 이론치의 진동주기 T 값과 비교하여 오차(%)를 계산한다.

⑧ 위의 과정을 3번 정도 반복하여 그래프를 그려보고 제일 잘 나온 그래프로 부터 정밀하게 주기를 측정해보자.

[질문] 모션센서의 작동속도(Trigger Rate)를 더욱 높일때 그래프의 상단부분이 측정되지 않고 잘리는 이유는 무엇때문일까? 초음파센서의 작동원리를 잘 생각하여 설명해보자.


3) 강제진동


[주의]
① 파형구동자(강자석)에는 전자제품이나 시계 등을 가까이 대지 말 것!
② 파워앰프 전원은 항상 신호발생기를 모두 설정한 다음 켜세요.


[그림9] 센서의 셋업
① 앞의 실험파일을 적당한이름으로 저장하고 File-New Activity하여 초기화하고 채널1은 모션센서, 채널A 는 파워앰프를 설정한다. 이때 모션센서의 설정은 앞 실험의 경우와 똑같이 설정한다.

② [그림10]과 같이 신호 발생기에서 파형은 사인파(Sine Wave), 전압진폭은 6V, 주파수는 1.1Hz(스프링의 자연진동수보다 약간 작은 값), Auto로 놓은 다음, 파워앰프 전원을 켠다.

[그림10] 신호발생기의 설정
③ [그림11]과 같이 파형 구동자(Wave Driver)를 스탠드막대의 끝에 설치하고 스프링을 끼운 다음, 50g 추걸이를 매달고 정지상태를 유지하도록 한다.

④ 파워앰프의 출력단자와 구동자 측면에 있는 단자를 리드선으로 연결하고 스프링-질량-모션센서가 일직선상에 놓이도록 잘 정렬한다.

⑤ 그래프윈도우 를 띄우고 질량이 정지한 상태에서 버튼을 클릭하여 데이터 저장을 시작한다.

⑥ 30~40초 정도 진동모양을 관찰하며 데이타저장을 한 다음, 정지하고 오토스케일 하여 그래프를 보기좋게 조절한다.



[그림11] 강제진동
⑦ 질량-스프링계의 진동은 어떠한가? 주파수를 0.05Hz 정도 증가시켜가며 자연진동수 부근에서의 계의 강제진동 현상을 관찰하고 위의실험을 되풀이해보자. (아래 [그림12]의 그래프는 우리가 하는 실험에서 실제로 나타나는 그래프들이다)

[주의] 만약 진동이 너무 크게되어 위아래로 부딪치게 되면 즉시 실험을 멈춘다.

⑧ 앞의 단순조화운동에서 측정한 주기값(T')과 이론값(T) 중 어느값을 더 신뢰 할만한가? (사실 질량(10g,20g)의 추가 정밀하지 않은 이유도 있다) 오차의 원인에는 무엇이있을까 설명해보고 실험으로부터 얻은 강제진동 그래프들의 물리적의미를 설명해보자.

[참고]
ⓐ 우리가 미분방정식 으로부터 얻은 이론적인 해의 그래프를 수학 프로그램 등을 이용하여 그려보고 실험결과 그래프와 일치하는가를 확인해 보자.

ⓑ 식 (12)에서 강제진동의 외력이 (F0/M)sinωt 일때 방정식을 풀어도 결과는 마찬가지 임을 증명하여 보자.
[그림12] 자연진동수 부근에서의 강제진동그래프


5. 참 고

(1) Simple Harmonic Motion-Mass on a Spring / Driven Harmonic Motion (PDF 파일)

(2) 파형 구동자(Wave Driver)
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